Sviluppo di Taylor
Salve ragazzi, oggi vorrei chiedervi delle questioli legate agli sviluppi..L'esercizio è il seguente:
Scrivere lo sviluppo di Taylor di $f(x)=arctan(1-x^3)$ di centro $x_0=0$ e ordine $n=9$.
faccio ricorso agli sviluppi notevoli di Taylor:
$arctan(x)=x-x^3/3+x^5/5+...+((-1)^nx^(2n+1))/(2n+1)+o(x^(2n+1))$
Osservando l'argomento della funzione arcotangente, non è un infinitesimo per $x->0=>f(x)->1$ quindi possiamo calcolare lo sviluppo dell'$arctan(x)$ in un intorno di $x_0=1$ e operare per sostituzione $y=x-1$
Io avrei semplicemente sostituito alla variabile $x$ il valore $-x^3$, ma guardando altri esercizi simili ho notato che come primo termine compare $pi/4$ non ho la piu pallida idea da dove possa venire, così come i termini successivi $1/2,1/4,1/12$e così via...se qualcuno di buon cuore mi spiega perchè e come si arriva ad ottenere quei valori...Sicuramente tutto nasce a causa dell'intorno che non è $x_0=0$ ma $x_0=1$.
Grazie a tutti.
Scrivere lo sviluppo di Taylor di $f(x)=arctan(1-x^3)$ di centro $x_0=0$ e ordine $n=9$.
faccio ricorso agli sviluppi notevoli di Taylor:
$arctan(x)=x-x^3/3+x^5/5+...+((-1)^nx^(2n+1))/(2n+1)+o(x^(2n+1))$
Osservando l'argomento della funzione arcotangente, non è un infinitesimo per $x->0=>f(x)->1$ quindi possiamo calcolare lo sviluppo dell'$arctan(x)$ in un intorno di $x_0=1$ e operare per sostituzione $y=x-1$
Io avrei semplicemente sostituito alla variabile $x$ il valore $-x^3$, ma guardando altri esercizi simili ho notato che come primo termine compare $pi/4$ non ho la piu pallida idea da dove possa venire, così come i termini successivi $1/2,1/4,1/12$e così via...se qualcuno di buon cuore mi spiega perchè e come si arriva ad ottenere quei valori...Sicuramente tutto nasce a causa dell'intorno che non è $x_0=0$ ma $x_0=1$.
Grazie a tutti.
Risposte
Ho appena capito che il primo termine deriva dall'avere $arctan(1)=pi/4$
Per $[x->0]$, si può agevolmente sviluppare in serie la derivata:
$[f(x)=arctg(1-x^3)] rarr [f'(x)=(-3x^2)/(x^6-2x^3+2)=-3/2x^2 1/(1-x^3+1/2x^6)]$
Non rimane che sviluppare $[1/(1-x^3+1/2x^6)]$ fino all'ordine $[n=6]$:
$[1/(1-x^3+1/2x^6)=1+x^3+1/2x^6+o(x^6)] ^^ [x->0]$
In definitiva:
$[f'(x)=-3/2x^2-3/2x^5-3/4x^8+o(x^8)] ^^ [x->0] rarr$
$rarr [f(x)=\pi/4-1/2x^3-1/4x^6-1/12x^9+o(x^9)] ^^ [x->0]$
$[f(x)=arctg(1-x^3)] rarr [f'(x)=(-3x^2)/(x^6-2x^3+2)=-3/2x^2 1/(1-x^3+1/2x^6)]$
Non rimane che sviluppare $[1/(1-x^3+1/2x^6)]$ fino all'ordine $[n=6]$:
$[1/(1-x^3+1/2x^6)=1+x^3+1/2x^6+o(x^6)] ^^ [x->0]$
In definitiva:
$[f'(x)=-3/2x^2-3/2x^5-3/4x^8+o(x^8)] ^^ [x->0] rarr$
$rarr [f(x)=\pi/4-1/2x^3-1/4x^6-1/12x^9+o(x^9)] ^^ [x->0]$
"anonymous_0b37e9":
Per $[x->0]$, si può agevolmente sviluppare in serie la derivata:
$[f(x)=arctg(1-x^3)] rarr [f'(x)=(-3x^2)/(x^6-2x^3+2)=-3/2x^2 1/(1-x^3+1/2x^6)]$
Non rimane che sviluppare $[1/(1-x^3+1/2x^6)]$ fino all'ordine $[n=6]$:
$[1/(1-x^3+1/2x^6)=1+x^3+1/2x^6+o(x^6)] ^^ [x->0]$
In definitiva:
$[f'(x)=-3/2x^2-3/2x^5-3/4x^8+o(x^8)] ^^ [x->0] rarr$
$rarr [f(x)=\pi/4-1/2x^3-1/4x^6-1/12x^9+o(x^9)] ^^ [x->0]$
Scusa Sergeant Elias, quando scrivi che bisogna sviluppare $[1/(1-x^3+1/2x^6)]$ fino all'ordine $[n=6]$ significa applicare il seguente sviluppo? $1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n+o(x^n)$ applicando una sostituzione $x=(-x^3+1/2x^6)=>1/(1+(-x^3+1/2x^6))=1-(-x^3+1/2x^6)+(-x^3+1/2x^6)^2+o(x^2)$?? non mi trovo in questo passaggio, e soprattutto con segni e o piccolo.
Certamente, a patto di scrivere $o(x^6)$:
$[1/(1+(-x^3+1/2x^6))=1-(-x^3+1/2x^6)+(-x^3+1/2x^6)^2+o(x^6)]$
Se si svolgono i calcoli di cui sopra si ottiene:
$[1/(1-x^3+1/2x^6)=1+x^3+1/2x^6+o(x^6)]$
A questo punto, non vorrei che tu avessi delle difficoltà ad "accorpare" gli infinitesimi.
$[1/(1+(-x^3+1/2x^6))=1-(-x^3+1/2x^6)+(-x^3+1/2x^6)^2+o(x^6)]$
Se si svolgono i calcoli di cui sopra si ottiene:
$[1/(1-x^3+1/2x^6)=1+x^3+1/2x^6+o(x^6)]$
A questo punto, non vorrei che tu avessi delle difficoltà ad "accorpare" gli infinitesimi.
Tutto chiaro, ho capito come si svolgono. Graziee
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