Sviluppo di Taylor

[matteoorlandini]

Ciao a tutti, all'ultimo esame di Analisi mi è capitato in un limite di dover usare lo sviluppo di Taylor della funzione $sqrt(log(1+x^2))$, calcolato in $x_0 = 0$, quindi uno sviluppo di McLaurin. Conoscendo lo sviluppo di $log(1+x)$ e dunque anche quello di $log(1+x^2)$ come avrei potuto fare? Grazie mille.

[Magma1]

$sqrt( (log(1+x^2)))$

$log(1+t)=t-t^2/2+o[t^2]$, per $t=x^2$

$w=log(1+x^2)=x^2-x^4/2+o[x^4]$

$sqrt(1+s)=1+s/2-s^2/8$, per $s=w-1=-1+x^2-x^4/2+o[x^4]$

$sqrt(log(1+x^2))=1+(-1+x^2-x^4/2+o[x^4])/2-(-1+x^2-x^4/2+o[x^4])^2/8=...$

[matteoorlandini]

Allo scritto l'ho fatto così lo sviluppo ma non mi porta da nessuna parte perché, come puoi vedere, non si semplifica nessun termine (questo sviluppo era inserito in un limite più grande e quindi si dovrebbero semplificare diversi termini). Svolgendolo su Wolfram Alpha mi viene $sqrt(log(1+x^2))=x-(x^3)/4+o(x^5)$