Sviluppo di Taylor

[Rebdiluca]

Ciao, devo sviluppare (in $ x=0 $) la funzione $ log(1+xsinx) $. Il mio ragionamento è stato quello di fare lo sviluppo di $ xsinx=x^2-x^4/6+o(x^4) $ e andarlo poi a sostituire in quello del logaritmo e, così facendo, ottengo:
$ log(1+xsinx)=x^2-x^4/6+o(x^4) $.
Chiaramente c'è qualche errore nel mio procedimento perché il risultato del limite non è esatto.

[Rigel1]

"Robert96":Ciao, devo sviluppare (in $ x=0 $) la funzione $ log(1+xsinx) $. Il mio ragionamento è stato quello di fare lo sviluppo di $ xsinx=x^2-x^4/6+o(x^4) $ e andarlo poi a sostituire in quello del logaritmo e, così facendo, ottengo:
$ log(1+xsinx)=x^2-x^4/6+o(x^4) $.
Chiaramente c'è qualche errore nel mio procedimento perché il risultato del limite non è esatto.

Facendola lunga:
\[
\begin{align}
\log(1 + x \sin x) & = \log(1 + x^2 - x^4 / 6 + o(x^4)) \\ & =
\left( x^2 - x^4 / 6 + o(x^4)\right) - \frac{1}{2} \left( x^2 - x^4 / 6 + o(x^4)\right)^2
+ o\left(\left( x^2 - x^4 / 6 + o(x^4)\right)^2\right)
\\ & =
x^2 - x^4 / 6 + o(x^4) -\frac{1}{2} x^4.
\end{align}
\]
Ti eri perso il termine del secondo ordine del logaritmo, che fornisce il contributo \(-x^4/2\).