Sviluppo di taylor

irelimax
ciao a tutti!
sia f una funzione che ha il seguente sviluppo di taylor per x->2:

\(\displaystyle f(x)=2-3(x-2)-5(x-2)^2 +(x-2)^3 +o((x-2)^3)\).

Calcolando le derivate prima e seconda risulta che in un intorno di 2 la f è crescente e concava. La mia domanda è: come faccio a vedere che segno assume(se è positiva o negativa) la f in un intorno di 2?

grazie mille!

Risposte
Brancaleone1
Limiti? :)

EDIT: anzi, che dico: se la funzione ammette il polinomio di Taylor basta una semplice sostituzione... tra l'altro, appare nel polinomio stesso! :roll:

irelimax
scusami non ti seguo... sostituire cosa a chi?

Federico7771
Perché dovresti calcolare le derivate? Ricorda la definizione dello sviluppo di Taylor: se ti serve il valore delle derivate in un intorno basta vedere i coefficienti dei termini e moltiplicarli per il fattoriale corrispondente(se guardi lo sviluppo mi capisci al volo)

\(\displaystyle \) f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+(f''(c)/2!)(x-c)^2+(f'''(c)/3!)(x-c)^3+... \(\displaystyle \) con x->c

quindi dallo sviluppo puoi ricavarti i valori della funzione e delle derivate nell'intorno di c.
Nel tuo caso la funzione prende il valore 2 e quindi è positiva

irelimax
Ok grazie per avermi illuminata!

Brancaleone1
"irelimax":
scusami non ti seguo... sostituire cosa a chi?

Vuoi conoscere il segno di $f(x)$ in un intorno di $x_0=2$.
Se hai potuto sviluppare il polinomio di Taylor in tale intorno, è ovvio che hai anche calcolato quanto vale la funzione in $x_0$:

$f(x_0)=f(2)=2$

che è il primo termine del polimonio che hai scritto e dal quale capisci il segno della funzione intorno a $x_0$.

Federico7771
consiglio di ripassare la teoria

Brancaleone1
Ora che l'ho visto:
"irelimax":

sia f una funzione che ha il seguente sviluppo di taylor per x->2:

\(\displaystyle f(x)=2-3(x-2)-5(x-2)^2 +(x-2)^3 +o((x-2)^3)\).

Calcolando le derivate prima e seconda risulta che in un intorno di 2 la f è crescente e concava.

Guardando il polinomio non mi sembra crescente in tale intorno...

irelimax
Si ok! ricapitolando la funzione è positiva, decrescente e concava perchè ciò si vede dai coefficienti del polinomio.

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