Sviluppo di taylor
ciao a tutti!
sia f una funzione che ha il seguente sviluppo di taylor per x->2:
\(\displaystyle f(x)=2-3(x-2)-5(x-2)^2 +(x-2)^3 +o((x-2)^3)\).
Calcolando le derivate prima e seconda risulta che in un intorno di 2 la f è crescente e concava. La mia domanda è: come faccio a vedere che segno assume(se è positiva o negativa) la f in un intorno di 2?
grazie mille!
sia f una funzione che ha il seguente sviluppo di taylor per x->2:
\(\displaystyle f(x)=2-3(x-2)-5(x-2)^2 +(x-2)^3 +o((x-2)^3)\).
Calcolando le derivate prima e seconda risulta che in un intorno di 2 la f è crescente e concava. La mia domanda è: come faccio a vedere che segno assume(se è positiva o negativa) la f in un intorno di 2?
grazie mille!
Risposte
Limiti? 
EDIT: anzi, che dico: se la funzione ammette il polinomio di Taylor basta una semplice sostituzione... tra l'altro, appare nel polinomio stesso!

EDIT: anzi, che dico: se la funzione ammette il polinomio di Taylor basta una semplice sostituzione... tra l'altro, appare nel polinomio stesso!

scusami non ti seguo... sostituire cosa a chi?
Perché dovresti calcolare le derivate? Ricorda la definizione dello sviluppo di Taylor: se ti serve il valore delle derivate in un intorno basta vedere i coefficienti dei termini e moltiplicarli per il fattoriale corrispondente(se guardi lo sviluppo mi capisci al volo)
\(\displaystyle \) f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+(f''(c)/2!)(x-c)^2+(f'''(c)/3!)(x-c)^3+... \(\displaystyle \) con x->c
quindi dallo sviluppo puoi ricavarti i valori della funzione e delle derivate nell'intorno di c.
Nel tuo caso la funzione prende il valore 2 e quindi è positiva
\(\displaystyle \) f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+(f''(c)/2!)(x-c)^2+(f'''(c)/3!)(x-c)^3+... \(\displaystyle \) con x->c
quindi dallo sviluppo puoi ricavarti i valori della funzione e delle derivate nell'intorno di c.
Nel tuo caso la funzione prende il valore 2 e quindi è positiva
Ok grazie per avermi illuminata!
"irelimax":
scusami non ti seguo... sostituire cosa a chi?
Vuoi conoscere il segno di $f(x)$ in un intorno di $x_0=2$.
Se hai potuto sviluppare il polinomio di Taylor in tale intorno, è ovvio che hai anche calcolato quanto vale la funzione in $x_0$:
$f(x_0)=f(2)=2$
che è il primo termine del polimonio che hai scritto e dal quale capisci il segno della funzione intorno a $x_0$.
consiglio di ripassare la teoria
Ora che l'ho visto:
Guardando il polinomio non mi sembra crescente in tale intorno...
"irelimax":
sia f una funzione che ha il seguente sviluppo di taylor per x->2:
\(\displaystyle f(x)=2-3(x-2)-5(x-2)^2 +(x-2)^3 +o((x-2)^3)\).
Calcolando le derivate prima e seconda risulta che in un intorno di 2 la f è crescente e concava.
Guardando il polinomio non mi sembra crescente in tale intorno...
Si ok! ricapitolando la funzione è positiva, decrescente e concava perchè ciò si vede dai coefficienti del polinomio.