Sviluppo di Taylor

[Sk_Anonymous]

Devo essere rimbambito del tutto. Ho la funzione \(\displaystyle f(x)=\arctan(x \sqrt{x}) \) e vorrei farne lo sviluppo di Taylor in un intorno di \(\displaystyle +\infty \)... Intuitivamente direi che dovrebbe essere \[\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{2} - \left(\frac{1}{x} \right)^{3/2} + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x} \right)^{9/2} + \dots \] ma non ne trovo una giustificazione teorica, e a questo punto non sono nemmeno sicuro di quanto ho scritto. Mi illuminate?

Ringrazio.

[Seneca1]

Lo sviluppo di Taylor è una troncatura della serie di Taylor, la quale è una serie di potenze positive. Non puoi avere termini del tipo $1/x^alpha$.

[ciampax]

Seneca, lo sviluppo lo vuole fare per $x\to+\infty$, deve per forza avere quella espressione. Per effettuare quello sviluppo basta ricordare che

$\arctan t+\arctan(1/t)=\frac{\pi}{2}$ per $t\in(0,+\infty)$

Se allora $t=x\sqrt{x}$ possiamo scrivere

$\arctan(x\sqrt{x})=\pi/2-\arctan(1/{x\sqrt{x}})$

Per sviluppare il termine a destra, basta osservare che $s=1/{x\sqrt{x}}\to 0$ e pertanto si può applicare lo sviluppo notevole dell'arcotangente

$\arctan s=\sum_{k=0}^N (-1)^k/{s^{2k+1}}/{2k+1}+o(s^{2N+1})=s-s^3/3+s^5/5-s^7/7+....$

Poiché $s^{2k+1}=(x\sqrt{x})^{-2k-1}=x^{-3k-3/2}$, ne segue lo sviluppo

$\arctan(x\sqrt{x})=\pi/2-\sum_{k=0}^N {(-1)^k}/{(2k+1) x^{3k+3/2}}+o(1/x^{3N+3/2})=\pi/2-1/{x^{3/2}}+1/{3x^{9/2}}-1/{5x^{15/2}}+...$

[Sk_Anonymous]

Eh ecco, quell'identità non mi venne proprio in mente. Buono a sapersi, vuol dire che non sono del tutto scemo.
Grazie!