Sviluppo di maclaurin, dubbio

[Bade1]

Ciao a tutti
Ho un problema con uno sviluppo. La funzione è parecchio lunga da sviluppare, ma solo su una sua parte mi sorge qualche dubbio.

La parte di funzione è questa:

$ f(x) = -2x^2*e^(sqrt(2x) $

Lo sviluppo deve fermarsi al terzo ordine, per cui...
sviluppo $ sqrt(2x) $ come:

$ sqrt(2x) = sqrt(1+(2x-1)) " questo per ricondurmi ad una forma nota, poi continuo scrivendo" = (2x-1)/2 - (2x-1)^2/8 + (2x-1)^3/16 + o(x^3) $

A questo punto, per sviluppare $ e^sqrt(2x) $ prendo come riferimento lo sviluppo di $ e^x = 1+x+(x^2)/(2!) + (x^3)/(3!) $ ..semplice.
Ma alla mia x nello sviluppo della $ e^x $ devo andarci a mettere tutta quella pappardella che è venuta fuori dallo sviluppo della radice? ho provato ma viene una cosa interminabile, ok che ci sono gli o piccoli e quindi qualcosa va via, però è davvero troppo laborioso secondo me.
Ho sbagliato qualcosa? Lo sviluppo va fatto così vero?

Grazie..

[wolf90]

Non vorrei dire una cavolata, ma non ti basta usare lo sviluppo di $e^t$ che hai scritto, solo che poni $t=sqrt(2x)$?

[Relegal]

"Bade":Ciao a tutti
Ho un problema con uno sviluppo. La funzione è parecchio lunga da sviluppare, ma solo su una sua parte mi sorge qualche dubbio.

La parte di funzione è questa:

$ f(x) = -2x^2*e^(sqrt(2x) $

Lo sviluppo deve fermarsi al terzo ordine, per cui...
sviluppo $ sqrt(2x) $ come:

$ sqrt(2x) = sqrt(1+(2x-1)) " questo per ricondurmi ad una forma nota, poi continuo scrivendo" = (2x-1)/2 - (2x-1)^2/8 + (2x-1)^3/16 + o(x^3) $

A questo punto, per sviluppare $ e^sqrt(2x) $ prendo come riferimento lo sviluppo di $ e^x = 1+x+(x^2)/(2!) + (x^3)/(3!) $ ..semplice.
Ma alla mia x nello sviluppo della $ e^x $ devo andarci a mettere tutta quella pappardella che è venuta fuori dallo sviluppo della radice? ho provato ma viene una cosa interminabile, ok che ci sono gli o piccoli e quindi qualcosa va via, però è davvero troppo laborioso secondo me.
Ho sbagliato qualcosa? Lo sviluppo va fatto così vero?

Grazie..

Ciao Bade, non è più comodo cominciare a sviluppare l'esponenziale con la formula che hai riportato tu ? Ovviamente in $ e^x = 1+x+(x^2)/(2!) + (x^3)/(3!) $ devi sostituire $x$ con la funzione che nel tuo caso fa da esponente ad $e$, cioè $sqrt(2x)$

[Bade1]

Ah quindi si può usare come esponente la radice? Io ho un dubbio proprio su questo, in teoria la radice va sviluppata. Si potesse fare come dite voi, non ci sarebbero problemi...

[Relegal]

"Bade":Ah quindi si può usare come esponente la radice? Io ho un dubbio proprio su questo, in teoria la radice va sviluppata. Si potesse fare come dite voi, non ci sarebbero problemi...

Il tuo obiettivo è quello di approssimare la funzione di partenza in un intorno dello zero con una funzione di tipo polinomiale. Sviluppando l'esponenziale ottieni una forma di tipo "polinomiale" nella variabile $sqrt(2x)$. A questo punto puoi andare avanti nello sviluppo occupandoti della radice in modo da ottenere un vero e proprio polinomio nella usuale variabile $x$.

[Bade1]

ah ok, quindi diciamo che io ho sbagliato l'ordine di sviluppo. In questo caso mi sarebbe più comodo sviluppare prima l'esponenziale e poi la radice, capito!

Grazie!!

[Seneca1]

Attenzione... $sqrt( 2x ) $ NON è derivabile nel punto $0$.

[Bade1]

Quindi come dovrei procedere??

[Seneca1]

"Bade":Quindi come dovrei procedere??

Non esiste lo sviluppo di MacLaurin di $sqrt( 2x )$. Non saprei dirti.