Sviluppo di MacLaurin di $\frac{x-2}{x^2+2}$

[soni5]

Ciao, devo sviluppare in serie di MacLaurin questa funzione $\frac{x-2}{x^2+2}$, quindi per prima cosa la scrivo meglio $\frac{x-2}{x^2+2}=\frac{x}{x^2+2}-\frac{2}{x^2+2}$, poi sviluppo separatamente le due frazioni e rimetto tutto assieme. Il primo sviluppo mi viene $\frac{x}{x^2+2} = x\sum_{n=0}^{oo} (-1)^n\frac{x^{2n}}{2^{n+1}}$, il secondo $\frac{-2}{x^2+2} = -\sum_{n=0}^{oo} (-1)^n\frac{x^{2n}}{2^{n}}$. Solo che adesso come faccio a scrivere il tutto in forma di MacLaurin cioè con $x^{2n}$ in evidenza dato che c'è quell'$x$ davanti a moltiplicare nel primo sviluppo?

[ciampax]

Semplicemente così:

[tex]$\frac{x-2}{x^2+2}=\sum_{n=0}^\infty\left[(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2^{n+1}}-(-1)^n\frac{x^{2n}}{2^n}\right]$[/tex]

con i coefficienti che si esprimono in modo diverso a seconda che l'esponente sia pari o dispari.

[soni5]

Grazie ciampax. L'esercizio però richiedeva che si calcolasse la derivata di un certo ordine in $x=0$. Per ottenere la derivata n-esima partendo da uno sviluppo di MacLaurin scritto in questo modo [tex]$\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$[/tex] dove $x_0=0$ non devo fare altro che moltiplicare per $n!$ e dividere per $x^n$, quello che mi resta è la derivata di un certo ordine calcolata in zero (per $x^3$ sarà di ordine 3, per $x^4$ di ordine 4 e così via...). Ma in questo caso come faccio a stabilire l'ordine della $x$ e quindi della derivata dato che in una frazione è $x^{2n+1}$ e nell'altra è $x^{2n}$??? Cioè se volessi la derivata quarta per esempio dovrei dividere tutto per $x^4$ per $n=2$, ma mi resta una $x$ di troppo a moltiplicare... come si fa in questo caso?

[ciampax]

Basta che ti scrivi i coefficienti per bene. Ottieni, guardando lo sviluppo che ti ho scritto io, che

[tex]$a_{2n}=-\frac{(-1)^n}{2^n},\qquad a_{2n+1}=\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}$[/tex]

rispettivamente per le potenze pari e quelle dispari. Quindi ottieni che

[tex]$f^{(2n)}(0)=-(2n)!\cdot\frac{(-1)^n}{2^n},\qquad f^{(2n+1)}(0)=(2n+1)!\cdot\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}$[/tex]