Sviluppo di Maclaurin

[matehack]

Salve!

Ho bisogno di capire dove sbaglio:

$lim_{x \to \0+} (2x - x^2 + 2ln(1 - x + x^2)) / (x^3 - x^4)$

Questa è una forma indeterminata del tipo:

$0 / 0$

allora noto che facendo la sostituzione:

$t = -x +x^2$

$t -> 0$

ottengo lo sviluppo notevole di maclaurin del tipo:

$ln(1 + t)$

Sviluppo e mi accorgo che sviluppando fino al 3° ordine elimino la forma indeterminata:

$2ln(1 + t) = 2t - t^2 + (t^3/3) + o(t^3) =$

Sostituisco con:

$t = - x + x^2$

Ottengo:

$= 2(-x + x^2) - (-x + x^2)^2 + ((-x + x^2)^3 / 3) + o((-x + x^2)^3) =$

$= -2x + 2x^2 - (x^2 - 2x^3 + x^4) + ((-x^3 + x^6 + 3x^4 - 3x^5) / 3) + o(x^3)$

Svolgo il limite:

$lim_{x \to \0+} (2x - x^2 -2x +2x^2 -x^2 +2x^3 -x^4 + ((-x^3 + x^6 +3x^4 - 3x^5) / 3) + o(x^3)) / (x^3 - x^4) =$

$= lim_{x \to \0+} ((6x^3 - 3x^4 -x^3 +x^6 +3x^4 -3x^5 +o(x^3)) / 3) / (x^3 - x^4) = $

$= lim_{x \to \0+} (6x^3 - 3x^4 -x^3 +x^6 +3x^4 -3x^5 +o(x^3)) / (3x^3 - 3x^4) = $

$= lim_{x \to \0+} (x^3(6 - 3x -1 + x^3 + 3x - 3x^2 +o(1))) / (x^3(3 - 3x)) = $

$= lim_{x \to \0+} (6 - 3x -1 + x^3 + 3x - 3x^2 +o(1)) / (3 - 3x) = $

Mando $x -> 0$ e trovo:

$= 5/3$

Osservando in limit calculator online, il risultato corretto è 4/3, ho sbagliato a fermarmi al 3° ordine?


matehack

[matehack]

Vorrei capire se sbaglio a fermarmi al 3° ordine oppure se è semplicemente un errore di calcolo che non vedo o.O, l'ho rifatto due volte

Premetto che per me è una novità assoluta lo sviluppo di taylor/maclaurin!

[Seneca1]

Che marea disumana di conti.

Non sarebbe stato meglio De L'Hospital?


Alla fine, a parte il logaritmo, il resto è polinomiale. Derivando il log ottieni una razionale fratta. La cosa dovrebbe essere semplicissima.

[matehack]

L'esercizio richiede di utilizzare gli sviluppi

[Antimius]

Quando hai sviluppato rispetto alla $t$ e poi hai moltiplicato per $2$, ti sei dimenticato di moltiplicare $t^3/3$ per $2$
Non ho controllato, però, se ci siano altri errori. Quindi non so se viene.

[Camillo]

E' corretto, anzi necessario arrivare fino al terzo ordine per lo sviluppo $ ln(1+t) = t-t^2/2+t^3/3+o(t^3) $ però $2ln(1+t)=2t-t^2+2t^3/3+o(t^3) $ e non $ .... t^3/3 $ .

E' necessario arrivare fino al terzo ordine , cioè fino a $t^3/3 $ in quanto devi arrivare almeno allo stesso grado del denominatore cioè a $ x^4 $ e il cubo del binomio $(x^2-x)^3$ fornisce elementi di terzo e quarto grado oltre ad altri di quinto e sesto grado che possono essere trascurati in quanto $o(x^4)$.

[matehack]

Ho messo:

$t^3 / 3$

perchè sarebbe:

$(2 * t^3) / (3!) = (2 * t^3) / (3 * 2) = t^3 / 3$

E' scorretto?

[Antimius]

Al denominatore c'è $3$ e non $3!$. Guarda com'è lo sviluppo del logaritmo sul libro.

[matehack]

Maròòòòòò non ci credo!

GRAZIE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!