Sviluppo di Mac Laurin
Ciao a tutti, preparando l'esame di Analisi A mi sono imbattuto in questo esercizio:
Calcolare il polinomio di Mac Laurin di terzo ordine della funzione (prolungata per continuità in x=0):
$f(x) = "x"/(e^x-1)$
Ho visto che cercando di risolverlo usando la definizione vengono fuori delle derivate un po' incasinate, quindi immagino si possano usare gli sviluppi notevoli....qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie a tutti!
Ciao!
Calcolare il polinomio di Mac Laurin di terzo ordine della funzione (prolungata per continuità in x=0):
$f(x) = "x"/(e^x-1)$
Ho visto che cercando di risolverlo usando la definizione vengono fuori delle derivate un po' incasinate, quindi immagino si possano usare gli sviluppi notevoli....qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie a tutti!
Ciao!
Risposte
Considerando il polinomio di Mac Laurin di ordine 4
della funzione $e^x$:
$e^x=1+x+1/2x^2+1/6x^3+1/24x^4+o(x^4) " per " x->0$
e sostituendo si ha:
$x/(e^x-1)=x/(x+1/2x^2+1/6x^3+1/24x^4+o(x^4))=x/(x(1+1/2x+1/6x^2+1/24x^3+o(x^3))) = 1/(1+1/2x+1/6x^2+1/24x^3+o(x^3))
ma questo non è un polinomio di Mac Laurin... Credo che
l'unica possibilità in questo caso sia fare le derivate.
della funzione $e^x$:
$e^x=1+x+1/2x^2+1/6x^3+1/24x^4+o(x^4) " per " x->0$
e sostituendo si ha:
$x/(e^x-1)=x/(x+1/2x^2+1/6x^3+1/24x^4+o(x^4))=x/(x(1+1/2x+1/6x^2+1/24x^3+o(x^3))) = 1/(1+1/2x+1/6x^2+1/24x^3+o(x^3))
ma questo non è un polinomio di Mac Laurin... Credo che
l'unica possibilità in questo caso sia fare le derivate.
Hmmm...non ci si riesce a cambiare variabile per riportarsi ad una forma del tipo $1/(1-t)$ e poi usare lo sviluppo della serie geometrica?
Cavolo, in un compito da un ora e mezza con 6 esercizi uno deve perdere tutto sto tempo a calcolarsi le derivate??
grazie per la risposta comunque...ah, mi spieghi un attimo perchè non è un polinomio di MacLaurin quello? Perchè è nella forma $1/(.....)$?
Ciao!
Cavolo, in un compito da un ora e mezza con 6 esercizi uno deve perdere tutto sto tempo a calcolarsi le derivate??
grazie per la risposta comunque...ah, mi spieghi un attimo perchè non è un polinomio di MacLaurin quello? Perchè è nella forma $1/(.....)$?
Ciao!
Sì, non è proprio un polinomio, a parte il fatto di essere polinomio di Mac Laurin, perché è nella forma che dici.
Cioè... Se tu avessi da calcolare il polinomio di Mac
Laurin di ordine 3 di $(e^x-1)/x$ non ci sarebbe
la minima difficoltà e ti verrebbe
$1+1/2x+1/6x^2+1/24x^3+o(x^3) " per " x->0$
Ma qui hai il reciproco...
Laurin di ordine 3 di $(e^x-1)/x$ non ci sarebbe
la minima difficoltà e ti verrebbe
$1+1/2x+1/6x^2+1/24x^3+o(x^3) " per " x->0$
Ma qui hai il reciproco...
Ragazzi
se leggeste con attenzione quello che scrive il vecchio lupo, forse qualche volta fatichereste meno!…
Ecco che cosa ho scritto nel thread ‘maledetto’ Giusto per ridere un poco… [che conto quanto prima di riprendere] …
Ora dimostriamo che, se $f(z)$ e $g(z)$ sono entrambe di grado $0$ in $a$, allora…
$h(z)=(f(z))/(g(z))$ (6)
... è anch’essa di grado $0$ in $a$. Per dimostrare la (6) basta dimostrare che $k(z)=1/(g(z))$ è anch’essa di grado $0$ in $a$ e sfruttare il risultato che si è conseguito col prodotto. Se con $a_n$ indico il coefficiente di indice $n$ di $g(z)$ e con $b_i$ il coefficiente di indice $i$ di $k(z)$ sarà valida la relazione…
$sum_(n=0)^(+oo) a_n*(z-a)^n * sum_(i=0)^(+oo) b_i*(z-a)^i=$
$=sum_(n=0)^(+oo) sum_(i=0)^n*a_n*b_(n-i)=1$ (7)
Dalla (7) è possibile estrarre il sequenza le $b_n$ nel modo seguente…
$b_0=1/(a_0)$
$b_1=-(b_0*a_1)/(a_0)$
$b_2=-(b_0*a_2+b_1*a_1)/(a_0)$
…
$b_n=-(b_0*a_n+b_1*a_(n-1)+…+b_(n-1)*a_1)/(a_0)$ (8)
Allora data la funzione…
$g(x)= (e^x-1)/x= 1+x/2+x^2/6+…=sum_(n=0)^(+oo) (x^n)/((n+1)!)$ (1)
… si tratta di calcolare la funzione $h(x)= 1/(g(x))$. Dal momento che $g(x)$ è di grado $0$ in $0$ possiamo applicare la procedura che abbiamo appena visto. Indicati con $b_i , i=1,2,…$ i coefficienti dello sviluppo di $h(x)$ e $a_n$ quelli di $g(x)$ sarà…
$b_0= 1/(a_0)=1$
$b_1=-(b_0*a_1)/(a_0)= -(1/2*1)/1= -1/2$
$b_2=-(b_0*a_2+b_1*a_1)/(a_0)=- (1*1/6-1/2*1/2)/1=1/12$
$b_3=-(b_0*a_3+b_1*a_2+b_2*a_1)/(a_0)= -(1*1/24-1/2*1/6+1/12*1/2)/1= 0$
$b_4=-(b_0*a_4+b_1*a_3+b_2*a_2+b_3*a_1)/(a_0)=-(1*1/120-1/2*1/24+1/12*1/6+0*1/2)/1=0$
$b_5=-(b_0*a_5+b_1*a_4+b_2*a_3+b_3*a_2+b_4*a_1)/(a_0)= -(1*1/720-1/2*1/120+1/12*1/24)/1= -1/1440$
Siccome sono ‘vecchio’ e il calcolo a mano non è più il mio forte da tempo, vi pregherei di controllare il risultato. Se non ci sono errori dovrebbe essere dunque…
$x/(e^x-1)= 1-x/2+(x^2)/12-(x^5)/1440+…$ (2)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
se leggeste con attenzione quello che scrive il vecchio lupo, forse qualche volta fatichereste meno!…
Ecco che cosa ho scritto nel thread ‘maledetto’ Giusto per ridere un poco… [che conto quanto prima di riprendere] …Ora dimostriamo che, se $f(z)$ e $g(z)$ sono entrambe di grado $0$ in $a$, allora…
$h(z)=(f(z))/(g(z))$ (6)
... è anch’essa di grado $0$ in $a$. Per dimostrare la (6) basta dimostrare che $k(z)=1/(g(z))$ è anch’essa di grado $0$ in $a$ e sfruttare il risultato che si è conseguito col prodotto. Se con $a_n$ indico il coefficiente di indice $n$ di $g(z)$ e con $b_i$ il coefficiente di indice $i$ di $k(z)$ sarà valida la relazione…
$sum_(n=0)^(+oo) a_n*(z-a)^n * sum_(i=0)^(+oo) b_i*(z-a)^i=$
$=sum_(n=0)^(+oo) sum_(i=0)^n*a_n*b_(n-i)=1$ (7)
Dalla (7) è possibile estrarre il sequenza le $b_n$ nel modo seguente…
$b_0=1/(a_0)$
$b_1=-(b_0*a_1)/(a_0)$
$b_2=-(b_0*a_2+b_1*a_1)/(a_0)$
…
$b_n=-(b_0*a_n+b_1*a_(n-1)+…+b_(n-1)*a_1)/(a_0)$ (8)
Allora data la funzione…
$g(x)= (e^x-1)/x= 1+x/2+x^2/6+…=sum_(n=0)^(+oo) (x^n)/((n+1)!)$ (1)
… si tratta di calcolare la funzione $h(x)= 1/(g(x))$. Dal momento che $g(x)$ è di grado $0$ in $0$ possiamo applicare la procedura che abbiamo appena visto. Indicati con $b_i , i=1,2,…$ i coefficienti dello sviluppo di $h(x)$ e $a_n$ quelli di $g(x)$ sarà…
$b_0= 1/(a_0)=1$
$b_1=-(b_0*a_1)/(a_0)= -(1/2*1)/1= -1/2$
$b_2=-(b_0*a_2+b_1*a_1)/(a_0)=- (1*1/6-1/2*1/2)/1=1/12$
$b_3=-(b_0*a_3+b_1*a_2+b_2*a_1)/(a_0)= -(1*1/24-1/2*1/6+1/12*1/2)/1= 0$
$b_4=-(b_0*a_4+b_1*a_3+b_2*a_2+b_3*a_1)/(a_0)=-(1*1/120-1/2*1/24+1/12*1/6+0*1/2)/1=0$
$b_5=-(b_0*a_5+b_1*a_4+b_2*a_3+b_3*a_2+b_4*a_1)/(a_0)= -(1*1/720-1/2*1/120+1/12*1/24)/1= -1/1440$
Siccome sono ‘vecchio’ e il calcolo a mano non è più il mio forte da tempo, vi pregherei di controllare il risultato. Se non ci sono errori dovrebbe essere dunque…
$x/(e^x-1)= 1-x/2+(x^2)/12-(x^5)/1440+…$ (2)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Hmmm caruccio sto teoremuzzo.....cmq, non avendolo mai visto, mi sa che nel compito bisognava proprio usare le derivate....mi spieghi solo una cosa? cosa intendi per funzione di "grado zero in a"?
Grazie ancora!
Grazie ancora!
Per quel che riguarda il 'teoremuzzo' e la definzione di 'funzione di grado $n$ in $0$' [argomenti che evidentemente non si trovano sui libri di testo...] ti consiglio caldamente la seguente lettura...
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... highlight=
Per quanto riguarda la funzione $f(x)=(e^x-1)/x$ essa è analitica di grado $0$ in $0$ e come tale invertita fornisce un'altra fuznione analitica di grado $0$ in $0$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... highlight=
Per quanto riguarda la funzione $f(x)=(e^x-1)/x$ essa è analitica di grado $0$ in $0$ e come tale invertita fornisce un'altra fuznione analitica di grado $0$ in $0$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
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