Sviluppo di Mac Laurin

[Sk_Anonymous]

Devo fare lo sviluppo in $x=0$ di ordine 4 di
$f(x)=log(3+e^(x^2)-x^4/2)$
Dunque:
$f(x)=log[3+e^(x^2)(1-x^4/(2(3+e^(x^2))))]=$
$=log(3+e^(x^2))+log(1-x^4/(2(3+e^(x^2))))=$
$=log[4+(e^(x^2)-1)]+log(1-x^4/(2(3+e^(x^2))))=$
$=log4+log(1+(e^(x^2)-1)/4)+log(1-x^4/(2(3+e^(x^2))))=$
$=log4+(1+x^2+x^4/2-1+o(x^4))/4+x^4/8+o(x^4)-x^4/(2(3+3x^2+3/2x^4))+o(x^4)=$
$=log4+(x^2+x^4)/4+x^4/8-x^4/(2(3+3x^2+3/2x^4))+o(x^4)=$
$=log4+x^2/4+3/8x^4-x^4/(2(3+3x^2+3/2x^4))+o(x^4)$
Ora non so come togliere le incognite dal denominatore per ricavare il coefficiente di $x^4$. Qualcuno mi aiuta per favore?

[Quinzio]

Sei un po' fuori strada.
La prima cosa da fare e' raccogliere il 3 dentro al logaritmo.

$log[3(1+1/3 (e^(x^2) -x^4/2))] = log3+log(1+1/3 (e^(x^2) -x^4/2))$

e da qui devi continuare sviluppando le funzioni $e^(x^2) -x^4/2$... viene una cosa semplice, non e' complesso da fare.

[Sk_Anonymous]

"Quinzio":Sei un po' fuori strada.
La prima cosa da fare e' raccogliere il 3 dentro al logaritmo.

$log[3(1+1/3 (e^(x^2) -x^4/2))] = log3+log(1+1/3 (e^(x^2) -x^4/2))$

e da qui devi continuare sviluppando le funzioni $e^(x^2) -x^4/2$... viene una cosa semplice, non e' complesso da fare.

Si ma $1/3 (e^(x^2) -x^4/2)$ non tende a $0$

[ciampax]

In effetti, Quinzio, facendo così non vai da nessuna parte, dal momento che l'argomento del logaritmo ha come limite $4$. Per prima cosa, io svilupperei l'argomento stesso: abbiamo, ricordando che $e^t=1+t+t^2/2+o(t^2)$
$$3+e^{x^2}-\frac{x^4}{2}=3+1+x^2+\frac{x^4}{2}+o(x^4)-\frac{x^4}{2}=4+x^2+o(x^2)$$
da cui, usando $\log(1+t)=t-t^2/2+o(t^2)$
$$\log(4+x^2)=\log\left[4\left(1+\frac{x^2}{4}\right)\right]=\log 4+\log\left(1+\frac{x^2}{2}\right)=\log 4+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+o(x^4)$$

Tieni presente che le scelte fatte per arrestare gli sviluppi intermedi non sono casuali: un primo ragionamento è quello che, dovendosi arrestare al quarto ordine, termini di grado maggiore possono automaticamente essere eliminati, mentre una seconda cosa da notare è guardare gli esponenti delle variabili presenti nella funzione originale per determinare il giusto termine di arresto nello sviluppo generale, ma queste sono cose che vengono fuori quando ci si fa un po' di occhio.

[Sk_Anonymous]

Grazie di nuovo!