Sviluppo di \(1/(x^2+4)^2\) in serie di McLaurin

[nunziox]

Sviluppo in serie di

$1/(x^2+4)^2$

ma questa conviene trattarla come binomiale $(x^2+4)^-2$

[gugo82]

Sì.

[nunziox]

io ho un solo dubbio:)

io manipolo la mia funzione in $(4(x^2/4+1))^-2$ ==> $1/16(x^2/4+1)^-2$ ==> $1/16 sum ( ( -2 ),( n ) ) (x^2/4)^n$ ???

[gugo82]

Esatto.

Ora, se riuscissi anche a scrivere in una forma buona la serie di potenze (separando i coefficienti dalla variabile) ed il coefficiente binomiale \(\binom{-2}{n}\) sarebbe il massimo.


P.S.: Avresti potuto anche procedere in altro modo, conoscendo i teoremi sulla derivazione e l'integrazione delle serie di potenze.

Introducendo la variabile ausiliaria \(t=x^2\) la tua funzione diventa \(1/(t+4)^2 = \tfrac{1}{16}\ 1/(1+t/4)^2\); si vede che tale funzione è la derivata di \(-\tfrac{1}{4}\ 1/(1+t/4)\), quindi il suo sviluppo di MacLaurin si trova derivando termine a termine lo sviluppo della sua primitiva.
Ma è:
\[
-\frac{1}{4}\ \frac{1}{1+\frac{t}{4}} = -\frac{1}{4}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{4^n}\ t^n
\]
per noti fatti sulla serie geometrica, cosicché:
\[
\frac{1}{(t+4)^2} = -\frac{1}{4}\sum_{n=0}^\infty \frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ \frac{(-1)^n}{4^n}\ t^n\right] = -\frac{1}{4} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\ n}{4^n}\ t^{n-1} \stackrel{m=n-1}{=} \frac{1}{16}\ \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m (m+1)}{4^m}\ t^m
\]
ed infine:
\[
f(x)=\frac{1}{16}\ \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m (m+1)}{4^m}\ t^m \Bigg|_{t=x^2} = \frac{1}{16}\ \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m (m+1)}{4^m}\ x^{2m}\; .
\]

[nunziox]

mmm che intendi?

intendi di scriverla : $1/16 sum ((-2),(n)) 1/2^(2n)*x^(2n)$

[gugo82]

Beh, questo è il primo passo (hai separato la variabile dai coefficienti); ora rimane da sviluppare \(\binom{-2}{n}\) con la definizione e semplificare.
Si devono fare un po' di calcoli, ma è semplice.