Sviluppo della funzione inversa.

[StellaMartensitica]

Sia $f(x)$ una funzione localmente invertibile in un punto $x_0$. Scrivere lo sviluppo di Taylor del secondo ordine con resto secondo Peano, della funzione inversa $\hat(f)(x)$ in $y_0=f(x_0)$.

Vorrei che qualcuno mi aiutasse a capire se il mio procedimento è giusto, se possibile:

$\hat(f)(y)=\hat(f)(x_0)+\hat(f)'(x_0)*(y-y_0)+(\hat(f)''(x_0))/2*(y-y_0)+o(y-y_0)^2$

$hat(f)'(x_0)=1/(f'(x_0))=1/(f'(\hat(f)(y_0)))$

E fino qui ho capito ma la derivata seconda come si fa?
Ho provato così:

$\hat(f)''(x_0)=(-f''(x_0))/((f'(x_0))^2)$

È corretto?

[Quinzio]

Basta un piccolo esempio per vedere che la tua soluzione non e' corretta (anche se l'approccio e' giusto).
Per $f(x)= x^2$ abbiamo la sequenza di derivate (poi calcolate in 2)
$x^2, 2x, 2$ ... $4, 4, 2$
mentre per la funzione inversa
$y^(1/2), 1/2 y^(-1/2), -1/4 y^(-3/2)$... $2, 1/4, -1/32$

ma usando la tua formula: $-1/32 = -2/(4 * 4) = -1/8$.


Non e' affatto intuitivo fare quella derivazione. Bisogna tenere presente che la variabile indipendente diventa la $y$ e che quindi al denominatore c'e' una funzione composta, quindi bisogna derivare con la regola "della catena".
$D(f(g(y))) = f'(g(y))*g'(y)$

Ora abbiamo
$\hatf'(y) = 1/(f'(x)) = 1/(f'(\hat{f}(y)))$

Nota che il secondo passaggio esplicita correttamente il tutto in funzione della vera variabile indipendente che e' la $y$, non la $x$.
La derivazione corretta e' quindi:
$\hat {f}^{''}(y) = -(f^{''}(x))/([f'(x)]^2) (\hat{f}(y))' = -(f^{''}(x))/([f'(x)]^3)$

[StellaMartensitica]

Grazie mille. Adesso ho capito. Infatti mon mi tornavano i conti negli esercizi dopo.