Sviluppo del settore coseno iperbolico
Navigando su internet non sono riuscito a trovare lo sviluppo del settore coseno iperbolico a differenza dei suoi compari $sinh^-1$ e $tanh^-1$.
In teoria partendo da $cosh^-1(x+1)$ non è possibile espanderlo? O c'è qualche impedimento?
Grazie in anticipo
In teoria partendo da $cosh^-1(x+1)$ non è possibile espanderlo? O c'è qualche impedimento?
Grazie in anticipo
Risposte
Perdonami dunque non esiste un vero e proprio sviluppo di Taylor (o non l'ho visto??)?
Beh, nell'OP hai scritto sviluppo senza specificare che dovesse essere di Taylor... 
Comunque non che io sappia. Però si può scrivere:
$cosh^{-1}(x) = sqrt{2} sqrt{x - 1} \cdot sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n frac{(1/2)_n}{2^n (2n + 1) n!} (x - 1)^n \qquad $ per $\quad |x - 1| < 2 $
ove $(1/2)_n = 1/2 (1/2 + 1) \cdot ... \cdot (1/2 + n - 1)$ è il simbolo di Pochhammer:
$(x)_n := frac{\Gamma(x + n)}{\Gamma(x)} = x(x + 1) \cdot ... \cdot (x + n - 1) $
Scrivendo $x + 1 $ al posto di $x $ si ha:
$cosh^{-1}(x + 1) = sqrt{2x} \cdot sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n frac{(1/2)_n}{2^n (2n + 1) n!} x^n \qquad $ per $\quad |x| < 2 $
Comunque non che io sappia. Però si può scrivere:
$cosh^{-1}(x) = sqrt{2} sqrt{x - 1} \cdot sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n frac{(1/2)_n}{2^n (2n + 1) n!} (x - 1)^n \qquad $ per $\quad |x - 1| < 2 $
ove $(1/2)_n = 1/2 (1/2 + 1) \cdot ... \cdot (1/2 + n - 1)$ è il simbolo di Pochhammer:
$(x)_n := frac{\Gamma(x + n)}{\Gamma(x)} = x(x + 1) \cdot ... \cdot (x + n - 1) $
Scrivendo $x + 1 $ al posto di $x $ si ha:
$cosh^{-1}(x + 1) = sqrt{2x} \cdot sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n frac{(1/2)_n}{2^n (2n + 1) n!} x^n \qquad $ per $\quad |x| < 2 $
Lo davo erroneamente per scontato, comunque ti ringrazio molto
"Cantor99":
Perdonami dunque non esiste un vero e proprio sviluppo di Taylor?
Certo che esiste, è una funzione $C^\infty$, dunque uno sviluppo di Taylor esiste per ogni ordine, se si conoscano o no espressioni abbastanza semplici di suddetto sviluppo è un'altra questione.
Ti faccio notare che anche per alcune delle funzioni trigonometriche (probabilmente) non ne hai mai visto lo sviluppo, per esempio la tangente e (se non ricordo male) la secante.
In realtà gli sviluppi in serie di tangente e secante non sono impossibili, solo che coinvolgono i numeri di Bernoulli ed i numeri di Eulero:
$ tan(x) = sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n - 1} frac{2^{2n}(2^{2n} - 1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n - 1} \qquad $ per $ \quad |x| < \pi/2 $
ove $B_{2n} $ sono i numeri di Bernoulli e
$sec(x) = sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^{n} frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} \qquad $ per $ \quad |x| < \pi/2 $
ove $E_{2n} $ sono i numeri di Eulero.
$ tan(x) = sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n - 1} frac{2^{2n}(2^{2n} - 1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n - 1} \qquad $ per $ \quad |x| < \pi/2 $
ove $B_{2n} $ sono i numeri di Bernoulli e
$sec(x) = sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^{n} frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} \qquad $ per $ \quad |x| < \pi/2 $
ove $E_{2n} $ sono i numeri di Eulero.
Si lo so, infatti io ho detto espressioni abbastanza semplici dello sviluppo, ma è chiaro che se si accettano anche più complicate si riescono a trovare.
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