Sviluppo dei logaritmi nei limiti di Taylor-Mclaurin

[Fab527]

Buonasera a tutti. Volevo chiedervi una mano sul modo di trattare i logaritmi in base naturale durante lo svolgimento di limiti tramite sviluppi di Taylor-McLaurin. In pratica, non sono molto sicuro di come sia possibile riportare alla forma "classica" di $ log(x+1) $ tutti quei logaritmi con argomenti diversi. Scrivo subito due esempi:

1) $ lim_(x -> 0) (logsinx - logx) /(logcosx) $
2) $ lim_(x -> 0) ((sinx-x)*logx)/((x^(x) - 1)*sin^(2)x $

Nel primo caso, sarebbe sbagliato tentare di trasformare $ logsinx $ in $ log((sinx-1)+1) $ e $ logcosx $ in $ log((cosx-1)+1) $ ? Ho notato che mentre nel caso del coseno si ha che per x->0 $ cosx-1 $ va effettivamente a zero, con il seno non otterrei invece un infinitesimo al posto della "x di default" del $ log(x+1) $ e ciò mi fa intendere che la strada forse è sbagliata.

Nel secondo caso è lo stesso; $ logx $ può diventare $ log((x-1)+1) $ ?

Thanks

[Brancaleone1]

"Fab527":In pratica, non sono molto sicuro di come sia possibile riportare alla forma "classica" di $ log(x+1) $ tutti quei logaritmi con argomenti diversi.

Ciao Fab527. In generale non devi "riportare alla forma classica", ma solo sviluppare in maniera oculata i diversi termini ottenendo così un vantaggio (che può esprimersi attraverso una forma più semplice, un limite notevole, ecc...)

"Fab527":
1) $ lim_(x -> 0) (logsinx - logx) /(logcosx) $

[...] sarebbe sbagliato tentare di trasformare $ logsinx $ in $ log((sinx-1)+1) $ e $ logcosx $ in $ log((cosx-1)+1) $ ? Ho notato che mentre nel caso del coseno si ha che per x->0 $ cosx-1 $ va effettivamente a zero, con il seno non otterrei invece un infinitesimo al posto della "x di default" del $ log(x+1) $ e ciò mi fa intendere che la strada forse è sbagliata.

In pratica stai affermando che, per $x->0^+$,

\( \color{red}{\ln(\sin(x)) \sim \ln(\sin(x)-1)+1} \)

ma è sbagliato: mentre il primo membro diverge a $-oo$, il secondo neanche può esistere! Questo perché il dominio del secondo membro non possiede $x$ che possano soddisfare la condizione di esistenza del logaritmo, che è $sin(x)>1$, ma ciò è impossibile. L'altra, sempre per $x->0^+$,

\( \color{red}{\ln(\cos(x)) \sim \ln(\cos(x)-1)+1} \)

è ancora inesatta: mentre il primo membro tende a 0 il secondo anche qui non ha senso, poiché la condizione $cos(x)>1$ è altrettanto impossibile.

"Fab527":
2) $ lim_(x -> 0) ((sinx-x)*logx)/((x^(x) - 1)*sin^(2)x $

[...] è lo stesso; $ logx $ può diventare $ log((x-1)+1) $ ?

Stesso errore: per $x->0^+$

\( \color{red}{\ln(x) \sim \ln(x-1)+1} \)

non può essere, poiché il primo membro tende a $-oo$ mentre la condizione al secondo membro impone $x>1$ quindi, se quel logaritmo non esiste nell'intorno di $x_0=0$, figuriamoci il limite.

Riprendiamo il primo limite che hai scritto:

$ lim_(x -> 0) (ln[sin(x)] - ln(x)) /(ln[cos(x)] $

Per risolverlo attraverso McLaurin (= Taylor applicato a $x_0=0$) non svilupperemo il logaritmo $ln[sin(x)]$ (che non essendo definito in $x_0$ non ne esiste lo sviluppo), ma ci limiteremo a svilupparne l'argomento, che invece è definito in tale punto:

$text(McL)[sin(x)]=x-x^3/6+o(x^3)$

quindi

$ln[sin(x)]$ \(\sim \) $ln[x-x^3/6+o(x^3)]$

Sviluppiamo ora il denominatore: a differenza di prima questo logaritmo è definito in $x_0$ (difatti $ln[cos(0)]=0$, quindi è possibile sia sviluppare tutto il logaritmo $ln[cos(x)]$ che limitarsi a sviluppare il solo argomento $cos(x)$; prendiamo questa seconda strada:

$text(McL)[cos(x)]=1-x^2/2+o(x^2)$

quindi

$ln[cos(x)]$ \(\sim \) $ln[1-x^2/2+o(x^2)]$

Il limite può dunque essere riscritto come (trascurando gli infinitesimi di ordine superiore):

$lim_(x->0) (ln(x-x^3/6)-ln(x))/ln(1-x^2/2)=ln((x-x^3/6)/x)/ln(1-x^2/2)=ln(1-x^2/6)/ln(1-x^2/2)$

Notiamo come sia numeratore che denominatore tendano a $0$ con medesimo ordine, quindi il limite è finito e non nullo. Possiamo impiegare nuovamente McLaurin:

$text(McL)=>lim_(x->0)(x^2/6)/(x^2/2)=1/3$

Tutti questi passaggi per mostrarti che puoi usare più volte McLaurin, e che non devi "trasformare a caso" Una strada più veloce è:

$ lim_(x -> 0) (ln[sin(x)] - ln(x)) /ln[cos(x)] =ln[sin(x)/x]/ln[cos(x)]=(-x^2/6)/(-x^2/2)=1/3$