Sviluppo asintotico per x che tende a + infinito
Ciao,
Devo determinare il miglior sviluppo asintotico per x che tende a + infinito dell'espressione
$sqrt(x^4 - 2x^3 + x^2 + O(x))$
Cosa significa esattamente MIGLIOR SVILUPPO ASINTOTICO? A che ordine mi dovrei fermare?
Ho raccolto il termine dominante $x^4$ che ho provveduto a "portare fuori dalla radice
$|x^2|sqrt(1 - 2/x + 1/x^2 + O(1/x^3))$
Tolgo il modulo in quanto x tende a + infinito
$x^2sqrt(1 - 2/x + 1/x^2 + O(1/x^3))$
Ora voglio passare dall'avere x che tende a + infinito a $t --> 0$ cosi da poter (eventualmente) usare gli sviluppi di Taylor. Effettuo una sostituzione $t = 1/x$ che tende a zero per x che tende a + infinito
---> ottengo anche che $x = 1/t$
sostituisco tutto nell'espressione di partenza:
$1/t^2 sqrt(1 - 2t + t^2 + O(t^3))$
ora? Devo portare fuori O grande? Come mi devo comportare cosi da riuscire ad applicare Taylor?
NB. So che (1 -2t + t^2) = (1- t)^2 --->> ma questo non mi aiuta a ricondurmi a qualcosa di notevole...
Grazie e buona serata
Devo determinare il miglior sviluppo asintotico per x che tende a + infinito dell'espressione
$sqrt(x^4 - 2x^3 + x^2 + O(x))$
Cosa significa esattamente MIGLIOR SVILUPPO ASINTOTICO? A che ordine mi dovrei fermare?
Ho raccolto il termine dominante $x^4$ che ho provveduto a "portare fuori dalla radice
$|x^2|sqrt(1 - 2/x + 1/x^2 + O(1/x^3))$
Tolgo il modulo in quanto x tende a + infinito
$x^2sqrt(1 - 2/x + 1/x^2 + O(1/x^3))$
Ora voglio passare dall'avere x che tende a + infinito a $t --> 0$ cosi da poter (eventualmente) usare gli sviluppi di Taylor. Effettuo una sostituzione $t = 1/x$ che tende a zero per x che tende a + infinito
---> ottengo anche che $x = 1/t$
sostituisco tutto nell'espressione di partenza:
$1/t^2 sqrt(1 - 2t + t^2 + O(t^3))$
ora? Devo portare fuori O grande? Come mi devo comportare cosi da riuscire ad applicare Taylor?
NB. So che (1 -2t + t^2) = (1- t)^2 --->> ma questo non mi aiuta a ricondurmi a qualcosa di notevole...
Grazie e buona serata
Risposte
Il miglior sviluppo asintotico non l'ho mai sentito, per quanto riguarda la radice la riscrivo mettendo in evidenza gli o-piccoli
\begin{equation}
\sqrt{1+(-2t+t^2+O(t^3))}
\end{equation}
Utilizzi lo sviluppo di taylor della radice, che ti riporto
\begin{equation}
\sqrt{1+\varepsilon_n}=1+\frac{1}{2}\varepsilon_n-\frac{1}{8}(\varepsilon_n)^2+\frac{1}{16}(\varepsilon_n)^3-\frac{5}{128}(\varepsilon_n)^4+o((\varepsilon_n)^4)
\end{equation}
nel tuo caso $\varepsilon_n=-2t+t^2+O(t^3)$
quindi.............
\begin{equation}
\sqrt{1+(-2t+t^2+O(t^3))}
\end{equation}
Utilizzi lo sviluppo di taylor della radice, che ti riporto
\begin{equation}
\sqrt{1+\varepsilon_n}=1+\frac{1}{2}\varepsilon_n-\frac{1}{8}(\varepsilon_n)^2+\frac{1}{16}(\varepsilon_n)^3-\frac{5}{128}(\varepsilon_n)^4+o((\varepsilon_n)^4)
\end{equation}
nel tuo caso $\varepsilon_n=-2t+t^2+O(t^3)$
quindi.............
Ciao,
Grazie per la tua risposta
Ho svolto quanto detto da te:
$sqrt(1+(-2t+t^2 + o(t^3))) = 1+1/2(-2t+t^2+o(t^3)) -1/8(-2t +t^2+o(t^3))^2 + 1/16(-2t +t^2 + o(t^3))^3 -5/128(....)^4$
non ti nascondo che potrei essermi perso nei conti...
$1+1/2t^2 - t + o(t^3) -1/8(4t^2 + t^4 + o(t^6) - 4t^3 + o(t^6) -4t^3 + o(t^4) + 2t^5) + 1/16(-8 t^3 + t^6 + o(t^9))+ ...$
ho commesso un "peccato", non ho calcolato il polinomio al grado 4 in quanto mi stavo confondendo mica male
$1 + 1/2t^2 - t + o(t^3) - 1/2t^2 - 1/8t^4 + 1/2 t^3 + o(t^4) - 1/2t^3 + o(t^6) - 1/4t^5 -1/2t^3 + 1/16 t^6$
ora moltiplico tutto per $1/t^2$ e faccio qualche semplificazione
$1/t^2 [1-t + o(t^3) - 1/8t^4 + o(t^4) + o(t^6) - 1/4t^5 - 1/2t^3 + 1/16 t^6]$
$1/t^2 - 1/t + o(t^2) -1/8t^2 + o(t) + o(t^4) - 1/4 t^3 - 1/2 t + 1/16t^4$
Ora? Io ho pensato: posto che $t -> 0$ devo prendere l'o - piccolo di grado minimo...giusto? Ma in teoria poi dovrei passare anche all'O - grande... Quindi considerando o(t) l'elemento di grado minimo, prendo tutti li altri elementi di grado uguale, poi passo da o-piccolo a O-grande ottenendo $O (t^2)$. É giusto il mio ragionamento?
In questo caso
$-1/t - 1/2t + o(t)$
che diventa $-1/t -1/2t + O(t^2)$ a questo punto passo poi a x sapendo che $x =1/t)$
Cosa ne dici?
Grazie
Grazie per la tua risposta
Ho svolto quanto detto da te:
$sqrt(1+(-2t+t^2 + o(t^3))) = 1+1/2(-2t+t^2+o(t^3)) -1/8(-2t +t^2+o(t^3))^2 + 1/16(-2t +t^2 + o(t^3))^3 -5/128(....)^4$
non ti nascondo che potrei essermi perso nei conti...
$1+1/2t^2 - t + o(t^3) -1/8(4t^2 + t^4 + o(t^6) - 4t^3 + o(t^6) -4t^3 + o(t^4) + 2t^5) + 1/16(-8 t^3 + t^6 + o(t^9))+ ...$
ho commesso un "peccato", non ho calcolato il polinomio al grado 4 in quanto mi stavo confondendo mica male
$1 + 1/2t^2 - t + o(t^3) - 1/2t^2 - 1/8t^4 + 1/2 t^3 + o(t^4) - 1/2t^3 + o(t^6) - 1/4t^5 -1/2t^3 + 1/16 t^6$
ora moltiplico tutto per $1/t^2$ e faccio qualche semplificazione
$1/t^2 [1-t + o(t^3) - 1/8t^4 + o(t^4) + o(t^6) - 1/4t^5 - 1/2t^3 + 1/16 t^6]$
$1/t^2 - 1/t + o(t^2) -1/8t^2 + o(t) + o(t^4) - 1/4 t^3 - 1/2 t + 1/16t^4$
Ora? Io ho pensato: posto che $t -> 0$ devo prendere l'o - piccolo di grado minimo...giusto? Ma in teoria poi dovrei passare anche all'O - grande... Quindi considerando o(t) l'elemento di grado minimo, prendo tutti li altri elementi di grado uguale, poi passo da o-piccolo a O-grande ottenendo $O (t^2)$. É giusto il mio ragionamento?
In questo caso
$-1/t - 1/2t + o(t)$
che diventa $-1/t -1/2t + O(t^2)$ a questo punto passo poi a x sapendo che $x =1/t)$
Cosa ne dici?
Grazie
Innanzitutto occhio al quadrato del trinomio, quando le cose sono complicate semplificati la vita il più possibile, il trinomio lo penso così:
\begin{equation}
[t^2+(-2t+3)]^2=[t^4+(-2t+3)^2+2t^2(-2t+3)]
\end{equation}
una volta svolti i conti, ricordati che $3$ è $O(t^3)$
Per quanto riguarda l'utilizzo di o piccolo e O grande ti consiglio di guardarti questo video
Seconda cosa, attenzione che sotto radice hai un O grande e non o piccolo, se ho fatto i conti giusti dovresti ottenere:
\begin{equation}
[t^2+(-2t+O(t^3))]^2=t^4-4t^3+4t^2-4t+O(t^6)+O(t^5)=t^4-4t^3+4t^2-4t+O(t^5)
\end{equation}
Al second'ordine va bene, altrimenti i conti diventano troppo assurdi, il polinomio (P(t)) in t va bene, con le dovute correzioni e alla fine dovresti ottenere:
\begin{equation}
P(t)+O(t^3)+o(1)=P(t)+O(t^3)
\end{equation}
Se hai qualche dubbio chiedi pure
\begin{equation}
[t^2+(-2t+3)]^2=[t^4+(-2t+3)^2+2t^2(-2t+3)]
\end{equation}
una volta svolti i conti, ricordati che $3$ è $O(t^3)$
Per quanto riguarda l'utilizzo di o piccolo e O grande ti consiglio di guardarti questo video
.
Seconda cosa, attenzione che sotto radice hai un O grande e non o piccolo, se ho fatto i conti giusti dovresti ottenere:
\begin{equation}
[t^2+(-2t+O(t^3))]^2=t^4-4t^3+4t^2-4t+O(t^6)+O(t^5)=t^4-4t^3+4t^2-4t+O(t^5)
\end{equation}
Al second'ordine va bene, altrimenti i conti diventano troppo assurdi, il polinomio (P(t)) in t va bene, con le dovute correzioni e alla fine dovresti ottenere:
\begin{equation}
P(t)+O(t^3)+o(1)=P(t)+O(t^3)
\end{equation}
Se hai qualche dubbio chiedi pure
Ciao, scusa se ti rispondo solo ora, ma prima di scriverti ho voluto rifare l'esercizio seguendo le tue indicazioni
Innanzitutto ottima la semplificazione del binomio...mi ha aiutato molto!!
$[t^2 + (- 2t + O(t^3))]^2 = [t^4 + (- 2t + O(t^3))^2 + 2t^2(-2t + O(t^3)) =$
$t^4 + 4t^2 + O(t^6) - 4tO(t^3) - 4t^3 + O(t^5)$
tu hai scritto: -4t che secondo me è un errore...XD
ho proseguito sulla mia strada mantenendo per buoni i miei conti (speriamo siano giusti )
$t^4 + 4t^2 + O(t^6) + O(t^4) - 4t^3 + O(t^5)$
Ho considerato l'O-grande di grado minore (avendo $t -> 0$) ottenendo: $t^4 + 4t^2 + O(t^4) - 4t^3$
A questo punto riconsidero il tutto:
$1/t^2 [1 + 1/2 t^2 - t + O(t^3) - 1/8 (t^4 + 4t^2 + O(t^4) - 4t^3)$
$1/t^2 + 1/2 - 1/t + O(t) - 1/8 t^2 - 1/2 + O(t^2) - 4t$
Effettuo alcune semplificazioni e mantengo solo l'O-grande di grado inferiore (e quindi gli elementi devono avere grado minore di quest'ultimo)
$1/t^2 - 1/t + O(t)$
riporto in x ottenendo: $x^2 - x + O(1/x)$
Cosa ne pensi?
Grazie per la tua disponibilità
Innanzitutto ottima la semplificazione del binomio...mi ha aiutato molto!!
$[t^2 + (- 2t + O(t^3))]^2 = [t^4 + (- 2t + O(t^3))^2 + 2t^2(-2t + O(t^3)) =$
$t^4 + 4t^2 + O(t^6) - 4tO(t^3) - 4t^3 + O(t^5)$
tu hai scritto: -4t che secondo me è un errore...XD
ho proseguito sulla mia strada mantenendo per buoni i miei conti (speriamo siano giusti
)$t^4 + 4t^2 + O(t^6) + O(t^4) - 4t^3 + O(t^5)$
Ho considerato l'O-grande di grado minore (avendo $t -> 0$) ottenendo: $t^4 + 4t^2 + O(t^4) - 4t^3$
A questo punto riconsidero il tutto:
$1/t^2 [1 + 1/2 t^2 - t + O(t^3) - 1/8 (t^4 + 4t^2 + O(t^4) - 4t^3)$
$1/t^2 + 1/2 - 1/t + O(t) - 1/8 t^2 - 1/2 + O(t^2) - 4t$
Effettuo alcune semplificazioni e mantengo solo l'O-grande di grado inferiore (e quindi gli elementi devono avere grado minore di quest'ultimo)
$1/t^2 - 1/t + O(t)$
riporto in x ottenendo: $x^2 - x + O(1/x)$
Cosa ne pensi?
Grazie per la tua disponibilità
Sembrerebbe giusto, e spero che lo sia
ahahahah ottimo!! Grazie mille per la tua spiegazione!!
Alla prossima
Alla prossima
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