Sviluppo asintotico di $tan^2(x(senhx-x))$

lucabro1
Questa è una domanda derivata da un altro esercizio per cui ho aperto un post oggi pomeriggio, ma dato che sono stato aiutato a risolverlo ed avendo maturato un altro dubbio, ho pensato di aprire un altro thread. Se non va bene dite pure che aggiorno l'altro.

Dato $tan^2(x(senhx-x))$

si ha che $\senh x = x + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

quindi $\senh x - x = \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

moltiplicando per x $x(\senh x - x) = \frac{x^4}{6} + o(x^4)$

per la tangente si ha che $\tan t = t + \frac{t^3}{3} + o(t^3)$

ora però sul mio esercizio risolto si arriva a scrivere

$\tan(x(\senh x - x)) = \frac{x^4}{6} + o(x^4)$

e nel passaggio successivo

$\tan^2(x(\senh x - x)) = \frac{x^8}{36} + o(x^8)$

ma non riesco a capire come ci si è arrivati, ogni suggerimento è ben accetto

Risposte
dott.ing1
Sta approssimando la tangente con un errore maggiore: $\tant=t+o(t)$ anziché $\tant=t+\frac{t^3}{3}+o(t^3)$.
Pertanto sta semplicemente elevando al quadrato l'approssimazione dell'argomento: $(\frac{x^4}{6} + o(x^4))^2=\frac{x^8}{36} + o(x^8)$.

C'è una ragione importante per cui lo sviluppo viene troncato in quel modo. Il fatto è che gli sviluppi di funzioni composte possono diventare molto impegnativi da calcolare, e il tuo quesito ne fornisce un buon esempio.
Trovi qui un mio intervento sull'argomento, vedi se può esserti utile...

lucabro1
Ti ringrazio, sia per la spiegazione che per il link all'intervento, davvero interessante

dissonance
"dott.ing":

Pertanto sta semplicemente elevando al quadrato l'approssimazione dell'argomento: $(\frac{x^4}{6} + o(x^4))^2=\frac{x^8}{36} + o(x^8)$..

Eh però attenzione che questo calcolo va fatto con cura. Il risultato che scrivi è giusto, e sicuramente tu lo sai fare bene, ma come hai scritto lasci l'impressione che valga questa formula:
\[
(x^p+o(x^q))^2=x^{2p}+o(x^{2q})
\]
e questo è falso, a meno che $q=p$, come in questo thread.

dott.ing1
Certamente dissonance, quel conto va fatto con tutti i crismi del caso...
L'ho dato per scontato ed in effetti quella scrittura potrebbe ingenerare confusione, hai fatto bene a precisare.

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