Sviluppo asintotico di funzioni composte
Avendo un esercizio del genere:
$\lim_{x \to \infty} x-x^2log(1+sin(1/x))$
Posto $t= 1/x$, si ottiene:
$\lim_{t \to \0} 1/t-(log(1+sin(t)))/t^2$
Io ho calcolato gli sviluppi generici asintotici sia del log(1+x) che di sin(x):
$log(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)$
$Sin(x)=x+o(x^2)$
Ora la mia idea sarebbe quella di sostituire $Sin(x)=x+o(x^2)$ come la x di $log(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)$, svolgere il quadrato e poi andare a sostituire tutto nel limite e risolverlo.
Il problema è che nella soluzione dell'esercizio prima viene sviluppato il logaritmo come $sin(t)-sin(t)^2/2 + o(sin(t)^2)$ e dopo si procede con lo sviluppo successivo, sostituendo a $sin(t)$ la semplice $t$.
I risultati a me vengono diversi. Quale dei due metodi è quello corretto?
$\lim_{x \to \infty} x-x^2log(1+sin(1/x))$
Posto $t= 1/x$, si ottiene:
$\lim_{t \to \0} 1/t-(log(1+sin(t)))/t^2$
Io ho calcolato gli sviluppi generici asintotici sia del log(1+x) che di sin(x):
$log(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)$
$Sin(x)=x+o(x^2)$
Ora la mia idea sarebbe quella di sostituire $Sin(x)=x+o(x^2)$ come la x di $log(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)$, svolgere il quadrato e poi andare a sostituire tutto nel limite e risolverlo.
Il problema è che nella soluzione dell'esercizio prima viene sviluppato il logaritmo come $sin(t)-sin(t)^2/2 + o(sin(t)^2)$ e dopo si procede con lo sviluppo successivo, sostituendo a $sin(t)$ la semplice $t$.
I risultati a me vengono diversi. Quale dei due metodi è quello corretto?
Risposte
A me vengono identici, infatti l'ordine di sostituzione è indifferente.
Il risultato del limite e'$1/2$, l'ordine di sostituzione e' indifferente.
Ottimo 
Grazie mille...
Grazie mille...
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