Sviluppi di Taylor: quando fermarsi?
Ciao a tutti, prima cosa ringrazio tutti quelli che pazientemente rispondono in questo forum e che spesso mi sono stati di grande aiuto (siete bravissimi ! ). Devo dare l'esame di Analisi 2 e non ci crederete ma tra tutti gli argomenti che ci sono ho un enorme dubbio su Taylor. Per spiegarvi il mio problema vi farò un esempio pratico:
Devo calcolare l'ordine di infinitesimo di questa funzione:
$ (x+4)^( 1/2) (1/x^2 - sin (1/x^2) )/ ln (1+ 4/x^3) $
L'esercizio è svolto e sviluppa il seno con Taylor sapendo che :
$ sinx = x- x^3 / 3! + o(x^3) $ (fermandosi cioè al terzo ordine)
Sviluppa anche il denominatore fermandosi al primo di ordine sapendo che :
$ ln(1+y) = y + o(y) $
Ottiene quindi:
$ (x+4)^( 1/2) (1/x^2 - (1/x^2 - 1/ (6x^6) + o(1/x^6)) )/ (4/x^3 + o(1/x^3)) $
Svolgendo i vari calcoli ottiene che l'ordine di infinitesimo è $x^(-5/2)$
Fino a qui per me tutto questo ha senso e mi torna perfettamente. Ma io quando ho provato a svolgere l'esercizio da sola senza consultare il libro al numeratore mi ero semplcemente fermata al primo ordine, e avevo invece continuato al denomitatore. Ovviamente il risultato era diverso. Ora mi chiedo come faccio a sapere quando fermarmi? E' un dubbio atroce x me dato che mi fa sbagliare non solo esercizi come questo, ma anche le serie o i limiti risolvibili con il mio tanto amato / odiato Taylor.
Grazie a tutti e mi scuso se sono stata poco chiara.
Devo calcolare l'ordine di infinitesimo di questa funzione:
$ (x+4)^( 1/2) (1/x^2 - sin (1/x^2) )/ ln (1+ 4/x^3) $
L'esercizio è svolto e sviluppa il seno con Taylor sapendo che :
$ sinx = x- x^3 / 3! + o(x^3) $ (fermandosi cioè al terzo ordine)
Sviluppa anche il denominatore fermandosi al primo di ordine sapendo che :
$ ln(1+y) = y + o(y) $
Ottiene quindi:
$ (x+4)^( 1/2) (1/x^2 - (1/x^2 - 1/ (6x^6) + o(1/x^6)) )/ (4/x^3 + o(1/x^3)) $
Svolgendo i vari calcoli ottiene che l'ordine di infinitesimo è $x^(-5/2)$
Fino a qui per me tutto questo ha senso e mi torna perfettamente. Ma io quando ho provato a svolgere l'esercizio da sola senza consultare il libro al numeratore mi ero semplcemente fermata al primo ordine, e avevo invece continuato al denomitatore. Ovviamente il risultato era diverso. Ora mi chiedo come faccio a sapere quando fermarmi? E' un dubbio atroce x me dato che mi fa sbagliare non solo esercizi come questo, ma anche le serie o i limiti risolvibili con il mio tanto amato / odiato Taylor.
Grazie a tutti e mi scuso se sono stata poco chiara.
Risposte
IO sto preparando analisi 1 e anche a me è sorto lo stesso dubbio. Mi è stato detto che bisogna sviluppare sia den che num allo stesso grado di approssimazione. Ora guarda ndo l'esercizio, non so se ho ragione, il denominatore è del tipo log(1+x) del primo ordine ma siiccome x è elevata al cubo otteniamo che è come hai scritto tu è equivalente alla quantità che hai scritto che non ricordo XD) + un o-piccolo di quella quantità che è al cubo. Quindi forse per questo loro sviluppano il num. fino alla terza potenza.
Spero sia giusto almeno signiifica che ho capito come funziona XD
Aspettiamo altre risposte.
Spero sia giusto almeno signiifica che ho capito come funziona XD
Aspettiamo altre risposte.
ciao avevo letto infatti anche la tua discussione... anche io infatti pensavo allo stesso grado.. ma come puoi vedere nel mio esempio il numeratore lo ha sviluppato fino al terzo ordine mentre il denominatore fino al primo perchè? 
ah si ho riletto bene la tua risposta... e in effetti forse è per quello.. però nn mi sembra molto semplice nel senso è facile sbagliare
ah si ho riletto bene la tua risposta... e in effetti forse è per quello.. però nn mi sembra molto semplice nel senso è facile sbagliare
eh si lo so. Tu credi di fare giusto invece è completamente sbagliato. Di analisi uno sto facendo un bel ripasso e ogni capitolo che finisco faccio gli esercizi. Sono arrivato alle successioni ma il capitolo dei limiti mi sta facendo impazzire, ci sono molte nozionie richiedono una certa abilità nei calcoli algebrici, per qusto sto leggendo una dispensa presa da internet sulle equivalenze, o-piccoli ecc.. e sto vedendo la risoluzione di molti esercizi e ho notato che ci sono molte cose che sul mio libro non ci sono e che sono utilissime al fine della risoluzione.
Io personalmente mi confondo quando mi trovo davanti i limiti per x tendente a infinito con funzioni delle quali conosco a cosa sono equivalenti solo quando x tende a 0... XD poi devi stare attenta nell'equivalenza delle somme differenze ecc.. con + di 2 addendi............... cavolo ho l'esame giorno 18 febbraio e sono confuso al massimo tra l'altro devo dare anche fisica 1 ;;;;;;;;;;
P.S. a proposito, che facoltà frequenti?
Io personalmente mi confondo quando mi trovo davanti i limiti per x tendente a infinito con funzioni delle quali conosco a cosa sono equivalenti solo quando x tende a 0... XD poi devi stare attenta nell'equivalenza delle somme differenze ecc.. con + di 2 addendi............... cavolo ho l'esame giorno 18 febbraio e sono confuso al massimo tra l'altro devo dare anche fisica 1 ;;;;;;;;;;
P.S. a proposito, che facoltà frequenti?
Gli sviluppi con Taylor, a mio modo di vedere, sono un argomento non semplice; siamo abituati ad andare in cerca di un procedimento meccanico e preciso, che spesso, in Matematica (sempre secondo me), non ha senso di essere.
Mi spiego meglio: siamo abituati a prendere una funzione, metterla dentro una "macchinetta" che ci sputa fuori la sua derivata.
Più o meno la stessa cosa vogliamo che ci faccia la "macchinetta" opposta, e quindi esistono regole precise anche per l'integrazione (anche se...).
Tuttavia, il bello, forse, di tutta la faccenda è quel margine di non-certo che noi dobbiamo scoprire da soli. In questo senso, Taylor costituisce un buon esempio di ciò che voglio dire.
In linea di massima, non penso troverai scritto da nessuna parte una "legge" che ti dice (per il maggior numero di casi possibili) a che punto troncare lo sviluppo. Bisogna provare, sporcarsi le mani, c'è poco da fare: è tutta una scoperta che devi fare tu.
L'idea da tenere in mente è sempre questa: se si fa troppa poca fatica, la si paga, il più delle volte, sbagliando. Se si fa troppa fatica il risultato è giusto, a prezzo però di non sempre leggere complicazioni sui conti.
L'importante è che ciò che scrivi e ciò che deduci sia "sensato": come si diceva con AlexlovesUSA nell'altro thread, un'espressione del tipo $(o(x))/x^4$ non ha molto senso: in un intorno di $0$ potrebbe venire qualsiasi cosa.
Quindi il mio consiglio è sempre quello di osservare bene le cose prima di cominciare; farsi un'idea di quello che può venire, buttare giù qualche conticino in brutta e poi essere precisi e attenti in bella.
Ovviamente, il tutto IMHO.
Sperando di esservi stato d'aiuto,
P.S. Ricordo solo che per gli sviluppi si parla di ordine, e non di grado. Il grado è quello del polinomio.
Mi spiego meglio: siamo abituati a prendere una funzione, metterla dentro una "macchinetta" che ci sputa fuori la sua derivata.
Più o meno la stessa cosa vogliamo che ci faccia la "macchinetta" opposta, e quindi esistono regole precise anche per l'integrazione (anche se...).
Tuttavia, il bello, forse, di tutta la faccenda è quel margine di non-certo che noi dobbiamo scoprire da soli. In questo senso, Taylor costituisce un buon esempio di ciò che voglio dire.
In linea di massima, non penso troverai scritto da nessuna parte una "legge" che ti dice (per il maggior numero di casi possibili) a che punto troncare lo sviluppo. Bisogna provare, sporcarsi le mani, c'è poco da fare: è tutta una scoperta che devi fare tu.
L'idea da tenere in mente è sempre questa: se si fa troppa poca fatica, la si paga, il più delle volte, sbagliando. Se si fa troppa fatica il risultato è giusto, a prezzo però di non sempre leggere complicazioni sui conti.
L'importante è che ciò che scrivi e ciò che deduci sia "sensato": come si diceva con AlexlovesUSA nell'altro thread, un'espressione del tipo $(o(x))/x^4$ non ha molto senso: in un intorno di $0$ potrebbe venire qualsiasi cosa.
Quindi il mio consiglio è sempre quello di osservare bene le cose prima di cominciare; farsi un'idea di quello che può venire, buttare giù qualche conticino in brutta e poi essere precisi e attenti in bella.
Ovviamente, il tutto IMHO.
Sperando di esservi stato d'aiuto,
P.S. Ricordo solo che per gli sviluppi si parla di ordine, e non di grado. Il grado è quello del polinomio.
Ha ragione paolo. Tutte queste operazioni meccaniche per trovare il risultato di un limite, di una derivata o di un integrale non sono perfette e precise quindi bisogna provare. Sai però il problema quale è che se sei così sfortunato che per ogni prova ti viene un risultato diverso per esempio un numero reale e non sai quale è quello giusto, come fai a scegliere quale di loro lo è?
( nel caso di taylor penso che funzioni che più elevato è lordine più vicina ed esatta è l'approssimazione)
( nel caso di taylor penso che funzioni che più elevato è lordine più vicina ed esatta è l'approssimazione)
"Lucia89":
Ovviamente il risultato era diverso.
Se i calcoli sono giusti, non dovresti trovare un risultato sbagliato, se hai troncato troppo presto lo sviluppo. Mal che vada, trovi una cosa del tipo $(o(x))/x^4$, che, come scriveva Paolo, non ha molto senso.
Inoltre concordo con tutto ciò che ha scritto Paolo.
Hey scusate ragazzi per ieri. Ero un po nervosetto e in ansia per gli esami che si avvicinano. XD
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