Sviluppi di Taylor-McLaurin negli esercizi
Ciao a tutti!
Devo dire che ho compreso la teoria, ma nella pratica non ci siamo mica troppo...
Non capisco come usare le tabelle degli sviluppi, perché calcolandomeli mi aspetto altro da quel che ottengo, in particolare nel resto.
usando per casi come $e^x$ tutto bene e mi ci ritrovo alla perfezione scelgo l'ordine a cui arrestare lo sviluppo con T, e l'o piccolo sarà elevato a n grado scelto. Insomma grado 3 trovo gli esponenti a 3 e o piccolo di grado 3 $o(x^n)$ e nel mio caso n=3.
Ma per il seno proprio non capisco, ad esempio se volessi svilppare al secondo ordine mi pare dovrei avere una cosa del genere $sinx=x+o(x^2)$ perché la derivata si annulla. Fin qua dovremmo esserci.
Però quando vado a sviluppare al grado 3 dovrei avere $sinx=x-x^3/6+o(x^(2n+2))$ a questo punto se ci sostituisco n come sempre fatto per gli altri sviluppi avrei caso n=3: $sinx=x-x^3/6+o(x^(2*3+2))=x-x^3/6+o(x^8)$?
Brancolo nel buio perché in un esercizio svolto l'eserciziario mette $sinx=x-x^3/6+o(x^4)$ ma per me da dove salti fuori resta un mistero
perché io mi aspetterei un o(x^3) né di 4 Né di 8.
Devo dire che ho compreso la teoria, ma nella pratica non ci siamo mica troppo...
Non capisco come usare le tabelle degli sviluppi, perché calcolandomeli mi aspetto altro da quel che ottengo, in particolare nel resto.
usando per casi come $e^x$ tutto bene e mi ci ritrovo alla perfezione scelgo l'ordine a cui arrestare lo sviluppo con T, e l'o piccolo sarà elevato a n grado scelto. Insomma grado 3 trovo gli esponenti a 3 e o piccolo di grado 3 $o(x^n)$ e nel mio caso n=3.
Ma per il seno proprio non capisco, ad esempio se volessi svilppare al secondo ordine mi pare dovrei avere una cosa del genere $sinx=x+o(x^2)$ perché la derivata si annulla. Fin qua dovremmo esserci.
Però quando vado a sviluppare al grado 3 dovrei avere $sinx=x-x^3/6+o(x^(2n+2))$ a questo punto se ci sostituisco n come sempre fatto per gli altri sviluppi avrei caso n=3: $sinx=x-x^3/6+o(x^(2*3+2))=x-x^3/6+o(x^8)$?
Brancolo nel buio perché in un esercizio svolto l'eserciziario mette $sinx=x-x^3/6+o(x^4)$ ma per me da dove salti fuori resta un mistero
perché io mi aspetterei un o(x^3) né di 4 Né di 8.
Risposte
A me hanno insegnato che il termine $o(x^n)$ indica un infinitesimo di ordine superiore a $n$: se ci si arresta al primo grado, allora l'errore che si commette è di ordine superiore al primo, e quindi $sin(x)=x+o(x)$.
Stesso discorso per $sin(x)=x-x^3/6+o(x^3)$
Stesso discorso per $sin(x)=x-x^3/6+o(x^3)$
Sbagli a sostituire l'indice.
Infatti, poiché nello sviluppo del seno compaiono solo potenze del tipo $x^(2n + 1)$ (esponenti dispari), la potenza $x^3$ corrisponde ad $n=1$.
Infatti, poiché nello sviluppo del seno compaiono solo potenze del tipo $x^(2n + 1)$ (esponenti dispari), la potenza $x^3$ corrisponde ad $n=1$.
Buongiorno 
Credo di non capire cosa vada al posto di quella n allora
I dubbi sono più che altro di due tipi: se volessi sviluppare il seno fino ad ordine 2 mettiamo, dato che il secondo ordine di derivazione è annullato nel punto $x_0=0$ dove è centrato allora è giusto scrivere $sinx=x-+0(x^2)$? Perché in effetti ho sviluppato fino al secondo ma poi si è eliminato.
Invece il secondo dubbio verte sul comprendere cosa sia quell'n all'inizio pensavo fosse l'ortine n a cui derivavo, invece ora mi pare di capire che sia il numero (posizione) del termine "posizione zero, posizione 1, posizione 2 ecc.."
Dunque per $sinx$ se sviluppassi fino al 3 termine avrei: $sinx=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)+0(x^6)$ giusto?
Il problema però sorgerebbe per $log(1+x)$ in tal caso dato che il primo termine non è 1 come per gli altri ma x avrei sviluppando solo il primo termine: $log(1+x)=x$ ma senza opiccoli perché essendo in posizione 0 avrei $log(1+x)=x+o(x^0)=x+0$?
Insomma grandi pasticci, ma sia dall'eserciziario sia dal libro di spiegazioni non ce ne sono e non riesco a capire come fare.Sono bloccato negli esercizi
Credo di non capire cosa vada al posto di quella n allora
I dubbi sono più che altro di due tipi: se volessi sviluppare il seno fino ad ordine 2 mettiamo, dato che il secondo ordine di derivazione è annullato nel punto $x_0=0$ dove è centrato allora è giusto scrivere $sinx=x-+0(x^2)$? Perché in effetti ho sviluppato fino al secondo ma poi si è eliminato.
Invece il secondo dubbio verte sul comprendere cosa sia quell'n all'inizio pensavo fosse l'ortine n a cui derivavo, invece ora mi pare di capire che sia il numero (posizione) del termine "posizione zero, posizione 1, posizione 2 ecc.."
Dunque per $sinx$ se sviluppassi fino al 3 termine avrei: $sinx=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)+0(x^6)$ giusto?
Il problema però sorgerebbe per $log(1+x)$ in tal caso dato che il primo termine non è 1 come per gli altri ma x avrei sviluppando solo il primo termine: $log(1+x)=x$ ma senza opiccoli perché essendo in posizione 0 avrei $log(1+x)=x+o(x^0)=x+0$?
Insomma grandi pasticci, ma sia dall'eserciziario sia dal libro di spiegazioni non ce ne sono e non riesco a capire come fare.Sono bloccato negli esercizi
Scusate se faccio un up, ma ho davvero bisogno di una mano perché sbaglio e non capisco come si faccia
Lascio perdere la discussione sugli ordini del seno perché non sono sicuro che si possa affermare, arrestandosi al primo o al secondo ordine, che
Questo è sbagliato: non confondere il concetto di "primo termine" con quello di "primo ordine". Negli sviluppi di McLaurin il primo termine è una costante (che può essere nulla), gli altri presentano la variabile a diverse potenze (ordini). Per questo logaritmo si ha:
*al primo ordine
*al secondo ordine
*al terzo ordine
e così via...
\( \sin(x)=x+o(x)\color{red}{ =x+ o(x^2)} \)
"salarico":
Il problema però sorgerebbe per $log(1+x)$ in tal caso dato che il primo termine non è 1 come per gli altri ma x avrei sviluppando solo il primo termine: $log(1+x)=x$ ma senza opiccoli perché essendo in posizione 0 avrei $log(1+x)=x+o(x^0)=x+0$?
Questo è sbagliato: non confondere il concetto di "primo termine" con quello di "primo ordine". Negli sviluppi di McLaurin il primo termine è una costante (che può essere nulla), gli altri presentano la variabile a diverse potenze (ordini). Per questo logaritmo si ha:
*al primo ordine
$McL[ln(1+x)]=0+x+o(x)$
*al secondo ordine
$McL[ln(1+x)]=0+x-x^2/2+o(x^2)$
*al terzo ordine
$McL[ln(1+x)]=0+x-x^2/2+x^3/3+o(x^3)$
e così via...
Grazie ora ho capito il primo errore, in effetti quello è il primo ordine e non il primo termine.
Ora ho capito che se ho uno sviluppo allora ad un ordine n corrisponderà $o(x^n)$ tuttavia per gli sviluppi nella dicitura $o(x^(2n+1))$ o $o(x^(2n+2))$ non riesco proprio a capire come si usi.
Se volessi sviluppare il seno al 3 ordine, lì mi sballa tutto perché se n è l'ordine avrei $o(x^(2n+1))$ che poi su alcuni libri trovo addirittura $o(x^(2n+2))$ per il seno, non sono neppure coerenti.
Grazie mille per i vostri aiuti ragazzi, spero di uscire da questo dubbio:)
Ora ho capito che se ho uno sviluppo allora ad un ordine n corrisponderà $o(x^n)$ tuttavia per gli sviluppi nella dicitura $o(x^(2n+1))$ o $o(x^(2n+2))$ non riesco proprio a capire come si usi.
Se volessi sviluppare il seno al 3 ordine, lì mi sballa tutto perché se n è l'ordine avrei $o(x^(2n+1))$ che poi su alcuni libri trovo addirittura $o(x^(2n+2))$ per il seno, non sono neppure coerenti.
Grazie mille per i vostri aiuti ragazzi, spero di uscire da questo dubbio:)
Madonnasanta...
Hai visto che le derivate di ordine pari della funzione seno si annullano in $0$, il polinomio di Taylor-MacLaurin d'ordine $1$ coincide con quello d'ordine $2$, quello d'ordine $3$ coincide con il polinomio d'ordine $4$ ed, in generale, quello d'ordine dispari $2n+1$ con il successivo d'ordine pari $2n+2$ (con $n in NN$).
Conseguentemente l'espressione del resto di Peano d'ordine $2n+1$ si può sostituire anche con quella del resto di Peano della formula di Taylor d'ordine $2n+2$ senza fare danno (anzi, migliorando la stima); in altri termini, si può scrivere "indifferentemente":
\[
\begin{split}
\sin x &= x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 + \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} + \text{o}(x^{2n+1}) \qquad \text{(formula d'ordine } 2n+1\text{)}\\
&= x -\frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 + \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} + \text{o}(x^{2n+2}) \qquad \text{(formula d'ordine } 2n+2\text{)}\; .
\end{split}
\]
Hai visto che le derivate di ordine pari della funzione seno si annullano in $0$, il polinomio di Taylor-MacLaurin d'ordine $1$ coincide con quello d'ordine $2$, quello d'ordine $3$ coincide con il polinomio d'ordine $4$ ed, in generale, quello d'ordine dispari $2n+1$ con il successivo d'ordine pari $2n+2$ (con $n in NN$).
Conseguentemente l'espressione del resto di Peano d'ordine $2n+1$ si può sostituire anche con quella del resto di Peano della formula di Taylor d'ordine $2n+2$ senza fare danno (anzi, migliorando la stima); in altri termini, si può scrivere "indifferentemente":
\[
\begin{split}
\sin x &= x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 + \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} + \text{o}(x^{2n+1}) \qquad \text{(formula d'ordine } 2n+1\text{)}\\
&= x -\frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 + \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} + \text{o}(x^{2n+2}) \qquad \text{(formula d'ordine } 2n+2\text{)}\; .
\end{split}
\]
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