Sviluppi di Taylor-MacLaurin
Salve ragazzi. Ho un grattacapo che mi tormenta da un bel po' di tempo.
Quando, nel calcolo di un limite, sostituiamo a una determinata funzione il suo polinomio di Taylor, come facciamo a sapere a quale ordine è necessario fermarsi nello sviluppo?
Ad esempio, dovendo calcolare il limite:
$ lim_(x -> 1) (x/(x-1)-1/logx) $
se sviluppo rispettivamente il LOG come:
1) $ (x-1)+o(x) $ , il chè sarebbe lecito (per quel che mi pare), il limite vale 1 (risultato scorretto);
2) $ (x-1)-(x-1)^2/2 +o(x^2)$ , il limite vale 1/2 (risultato corretto).
Grazie in anticipo
Quando, nel calcolo di un limite, sostituiamo a una determinata funzione il suo polinomio di Taylor, come facciamo a sapere a quale ordine è necessario fermarsi nello sviluppo?
Ad esempio, dovendo calcolare il limite:
$ lim_(x -> 1) (x/(x-1)-1/logx) $
se sviluppo rispettivamente il LOG come:
1) $ (x-1)+o(x) $ , il chè sarebbe lecito (per quel che mi pare), il limite vale 1 (risultato scorretto);
2) $ (x-1)-(x-1)^2/2 +o(x^2)$ , il limite vale 1/2 (risultato corretto).
Grazie in anticipo
Risposte
Rettifico: $ cdots + o(x-1) $ nella (1);
$ cdots + o((x-1)^2) $ nella (2)
$ cdots + o((x-1)^2) $ nella (2)
Io direi di ordinarlo un pò, facendo prima di tutto il cambio di variabile $x-1=y$ in questo modo il limite diventa:
$lim_(y->0)((y+1)/y-1/log(y+1)) = lim_(y->0)((y+1)log(y+1)-y)/ (ylog(y+1))$
Ora per applicare gli sviluppi in serie di Taylor per la risoluzione del limite, sostanzialmente bisogna capire che infinitesimo c'è al numeratore e al denominatore. Riesci a farlo da solo?!
$lim_(y->0)((y+1)/y-1/log(y+1)) = lim_(y->0)((y+1)log(y+1)-y)/ (ylog(y+1))$
Ora per applicare gli sviluppi in serie di Taylor per la risoluzione del limite, sostanzialmente bisogna capire che infinitesimo c'è al numeratore e al denominatore. Riesci a farlo da solo?!
Scusa ma sbaglio o anche in questo caso se vado a sostituire al LOG la $ y $ in virtù del fatto che
$ log(y+1) ~ y $ per y-->0,
il limite è 1?
E comunque, potresti per favore spiegarmi meglio il discorso su Taylor prescindendo dall'esempio pratico? Grazie mille
$ log(y+1) ~ y $ per y-->0,
il limite è 1?
E comunque, potresti per favore spiegarmi meglio il discorso su Taylor prescindendo dall'esempio pratico? Grazie mille
Ps: non mi ha stampato il "~" tra $ log(y+1) $ e $y$!
Il discorso da fare riguardo l'applicazione degli sviluppi in serie di Taylor e MacLaurin è un pò complesso da spiegare, in quanto è una tecnica che viene applicata con un pò di intuito e non me la sento di scrivere un "trattato" su quest'argomento per due motivi:
1) Tramite forum e scrittura di post molti concetti ed idee che magari mi sono fatto dell'applicazione di questa tecnica potrebbero essere fraintese e creare in te confusione, cosa che non voglio, in quanto, come ti ho detto poco fa, è una tecnica che si basa molto sull'intuizione, ma che col tempo poi si padroneggia senza troppa difficoltà. A differenza di un teorema o di uno studio di funzione dove i passaggi quelli sono, qui il discorso è molto più ampio e ci si può fraintendere.
2)Se provi a fare una ricerca sia su internet che sul forum potrai trovare diversi topic in cui è spiegato in modo approfondito questa tecnica, da persone, molto più preparate di me. Ti riporto per comodità questa pagina, dove troverai una buona spiegazione approfondita con qualche esempio http://www.4dmatrix.it/math/limiti_T.pdf
Magari dacci un'occhiata e consulto qualche testo, che non fa mai male e poi ne riparliamo.
1) Tramite forum e scrittura di post molti concetti ed idee che magari mi sono fatto dell'applicazione di questa tecnica potrebbero essere fraintese e creare in te confusione, cosa che non voglio, in quanto, come ti ho detto poco fa, è una tecnica che si basa molto sull'intuizione, ma che col tempo poi si padroneggia senza troppa difficoltà. A differenza di un teorema o di uno studio di funzione dove i passaggi quelli sono, qui il discorso è molto più ampio e ci si può fraintendere.
2)Se provi a fare una ricerca sia su internet che sul forum potrai trovare diversi topic in cui è spiegato in modo approfondito questa tecnica, da persone, molto più preparate di me. Ti riporto per comodità questa pagina, dove troverai una buona spiegazione approfondita con qualche esempio http://www.4dmatrix.it/math/limiti_T.pdf
Magari dacci un'occhiata e consulto qualche testo, che non fa mai male e poi ne riparliamo.
D'accordo, ti ringrazio!
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