Sviluppi di Taylor funzione 2 variabili
Salve, ho qualche dubbio su come sviluppare alcune funzioni.
Per esempio, se abbiamo $ g(x,y) = y^2 - ln (x) -2yx+sin(x-e^y) $ con centro in $(1,0)$, si può scrivere $ ln (x) $ come $ ln (1 + x-1) $ per avvalersi dello sviluppo notevole, e fare la stessa cosa in maniera più o meno semplice coll'argomento del seno?
Se sì, qual è la differenza tra l'avere il centro nell'origine o meno?
Infine, come tratto quel $ -2yx $ per esempio nello sviluppo di primo ordine?
Per esempio, se abbiamo $ g(x,y) = y^2 - ln (x) -2yx+sin(x-e^y) $ con centro in $(1,0)$, si può scrivere $ ln (x) $ come $ ln (1 + x-1) $ per avvalersi dello sviluppo notevole, e fare la stessa cosa in maniera più o meno semplice coll'argomento del seno?
Se sì, qual è la differenza tra l'avere il centro nell'origine o meno?
Infine, come tratto quel $ -2yx $ per esempio nello sviluppo di primo ordine?
Risposte
Grazie mille per la risposta;
Probabilmente avrei dovuto specificare che la richiesta dello sviluppo in serie di Taylor fino al secondo ordine è l'ultimo punto di un esercizio che chiede di verificare che il teorema di Dini sia verificato, e quindi che esiste una $ f $ t.c $ y=f(x) $.
Ho provveduto a verificare il teorema:
1) $ g \in C^\infty\ (D) $
2) $ g(1,0) = 0$
$g_{y} (1,0) != 0 $
e ora generalmente sugli appunti che ho della mia professoressa, lei scrive " 1 ordine : y = .... "
Se volessi "rispettare questa forma", risolvendo il primo ordine avrei \[ \begin{aligned}
f(1,\,0) + f_x(1,\,0)\,(x-1) + f_y(1,\,0)\,(y-0) \end{aligned} \] e quindi $ -3y $, ma come faccio a esprimerlo in y=.... ?
Generalmente mi viene qualcosa simile a $ y = -x + o(x) $ che utilizzo poi per sostituire gli eventuali termini $y^2 $ o $xy$ che compaiono al secondo ordine, ma non riesco a fare lo stesso qua.
Oppure la lascio semplicemente in questa forma polinomiale e va bene così?
Grazie ancora
Probabilmente avrei dovuto specificare che la richiesta dello sviluppo in serie di Taylor fino al secondo ordine è l'ultimo punto di un esercizio che chiede di verificare che il teorema di Dini sia verificato, e quindi che esiste una $ f $ t.c $ y=f(x) $.
Ho provveduto a verificare il teorema:
1) $ g \in C^\infty\ (D) $
2) $ g(1,0) = 0$
$g_{y} (1,0) != 0 $
e ora generalmente sugli appunti che ho della mia professoressa, lei scrive " 1 ordine : y = .... "
Se volessi "rispettare questa forma", risolvendo il primo ordine avrei \[ \begin{aligned}
f(1,\,0) + f_x(1,\,0)\,(x-1) + f_y(1,\,0)\,(y-0) \end{aligned} \] e quindi $ -3y $, ma come faccio a esprimerlo in y=.... ?
Generalmente mi viene qualcosa simile a $ y = -x + o(x) $ che utilizzo poi per sostituire gli eventuali termini $y^2 $ o $xy$ che compaiono al secondo ordine, ma non riesco a fare lo stesso qua.
Oppure la lascio semplicemente in questa forma polinomiale e va bene così?
Grazie ancora
Grazie di nuovo.
Tutto chiaro per quanto riguarda Dini.
A proposito della nota: ok, ripensandoci un attimo avevo effettivamente seguito il tuo ragionamento trovando $ y=0 $; volendo fare lo stesso anche per il secondo ordine, posso semplicemente imporre $P_2 (x,y)=0$ quindi $ 1/2 x^2 + 1/2 y^2 -2xy-x-y+1/2 = 0 $ ?
Dopo si ha $y=1/2 x^2 + 1/2 y^2 - 2 xy - x + 1/2 $ e, sostituendo (come ho detto prima riguardo il procedimento che ero solito seguire) il primo ordine nei termini di secondo grado, si arriva a $ y = 1/2 x^2 - x + 1/2 $ ?
C'è qualcosa che non mi quadra però, visto che così facendo il primo ordine non coincide più.
Forse devo procedere utilizzando
$ g''(x) = - \frac{f_{x x} f_y^2-2f_xf_yf_{xy}+f_x^2f_{yy}}{f_y^3} $ da cui $g''(x) = - \frac{1 (-3)^2-2(0)(-3)(-2)+(0)^2(1)}{(-3)^3} = 1/3$ e quindi $ h(x) = f(1,0)+(0)x+1/2 (1/3) x^2 $ ovvero $h(x) = 1/6 x^ 2 $ ?
Tutto chiaro per quanto riguarda Dini.
A proposito della nota: ok, ripensandoci un attimo avevo effettivamente seguito il tuo ragionamento trovando $ y=0 $; volendo fare lo stesso anche per il secondo ordine, posso semplicemente imporre $P_2 (x,y)=0$ quindi $ 1/2 x^2 + 1/2 y^2 -2xy-x-y+1/2 = 0 $ ?
Dopo si ha $y=1/2 x^2 + 1/2 y^2 - 2 xy - x + 1/2 $ e, sostituendo (come ho detto prima riguardo il procedimento che ero solito seguire) il primo ordine nei termini di secondo grado, si arriva a $ y = 1/2 x^2 - x + 1/2 $ ?
C'è qualcosa che non mi quadra però, visto che così facendo il primo ordine non coincide più.
Forse devo procedere utilizzando
$ g''(x) = - \frac{f_{x x} f_y^2-2f_xf_yf_{xy}+f_x^2f_{yy}}{f_y^3} $ da cui $g''(x) = - \frac{1 (-3)^2-2(0)(-3)(-2)+(0)^2(1)}{(-3)^3} = 1/3$ e quindi $ h(x) = f(1,0)+(0)x+1/2 (1/3) x^2 $ ovvero $h(x) = 1/6 x^ 2 $ ?
Ops, ho dimenticato il -1; perfetto, grazie mille per il chiarimento 
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