Sviluppi di Taylor esagerati in [tex] \lim_{x\rightarrow0}(\frac{\sin(2x)}{x}-1)^{\frac{2}{x^{2}}}[/tex]
La soluzione del limite
[tex]\lim_{x\rightarrow0}(\frac{\sin(2x)}{x}-1)^{\frac{2}{x^{2}}}[/tex]
a detta di Wolfram Alpha, e da calcoli che ho fatto con l'aiuto del computer, è [tex]\frac{1}{e^{\frac{8}{3}}}[/tex]
Ecco i calcoli che ho eseguito
[tex]\lim_{x\rightarrow0}(\frac{\sin(2x)}{x}-1)^{\frac{2}{x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow0}((2x-\frac{8}{6}x^{3}+o(x^{3}))\frac{1}{x}-1)^{\frac{2}{x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow0}(1-\frac{4}{3}x^{2}+o(x^{2}))^{\frac{2}{x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow0}e^{\ln(1-\frac{4}{3}x^{2}+o(x^{2}))^{\frac{2}{x^{2}}}}=\lim_{x\rightarrow0}e^{\frac{2}{x^{2}}\ln(1-\frac{4}{3}x^{2}+o(x^{2})}[/tex]
Al che, per comporre lo sviluppo di Taylor di
[tex]\ln(1-\frac{4}{3}x^{2}+o(x^{2}))[/tex]
inizio a prepararmi le derivate separatamente, per poi ricongiungerle nella forma
[tex]f(x_{0})+f(x_{0})'(x-x_{0})+...+f(x_{0})^{(n)}\frac{(x-x_{0})^{n}}{n!}+o(x^{n})[/tex]
[tex]f(x)'=-\frac{24}{3-4x^{2}}[/tex]
[tex]f(x)''=\frac{-96x^{2}-72}{16x^{4}-24x^{2}+9}[/tex]
[tex]f(x)'''=\frac{3072x^{5}+4608x^{3}-4032x}{(16x^{4}-24x^{2}+9)^{2}}[/tex]
Come potete vedere già alla derivata terza la situazione inizia a farsi molto pesante, al che facendo fare lo sviluppo di Taylor a Wolfram Alpha, ho visto che affinché l'esercizio possa essere risolto, tale sviluppo deve giungere a
[tex]-\frac{4}{3}x^{2}-\frac{8}{9}x^{4}+o(x^{4})[/tex]
ovvero tornando al limite:
[tex]\lim_{x\rightarrow0}e^{\frac{2}{x^{2}}(-\frac{4}{3}x^{2}-\frac{8}{9}x^{4}+o(x^{4}))}=\lim_{x\rightarrow0}e^{\frac{2}{x^{2}}(-\frac{4}{3}x^{2}-\frac{8}{9}x^{4}+o(x^{4}))}=\lim_{x\rightarrow0}e^{-\frac{8}{3}-\frac{16}{9}x^{2}+o(x^{2}))}=e^{-\frac{8}{3}}=\frac{1}{e^{-\frac{8}{3}}}[/tex]
Ora il mio dubbio è: ad un esame arrivare alla derivata quarta di una cosa del genere è molto pesante, come mi suggerite di procedere?
[tex]\lim_{x\rightarrow0}(\frac{\sin(2x)}{x}-1)^{\frac{2}{x^{2}}}[/tex]
a detta di Wolfram Alpha, e da calcoli che ho fatto con l'aiuto del computer, è [tex]\frac{1}{e^{\frac{8}{3}}}[/tex]
Ecco i calcoli che ho eseguito
[tex]\lim_{x\rightarrow0}(\frac{\sin(2x)}{x}-1)^{\frac{2}{x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow0}((2x-\frac{8}{6}x^{3}+o(x^{3}))\frac{1}{x}-1)^{\frac{2}{x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow0}(1-\frac{4}{3}x^{2}+o(x^{2}))^{\frac{2}{x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow0}e^{\ln(1-\frac{4}{3}x^{2}+o(x^{2}))^{\frac{2}{x^{2}}}}=\lim_{x\rightarrow0}e^{\frac{2}{x^{2}}\ln(1-\frac{4}{3}x^{2}+o(x^{2})}[/tex]
Al che, per comporre lo sviluppo di Taylor di
[tex]\ln(1-\frac{4}{3}x^{2}+o(x^{2}))[/tex]
inizio a prepararmi le derivate separatamente, per poi ricongiungerle nella forma
[tex]f(x_{0})+f(x_{0})'(x-x_{0})+...+f(x_{0})^{(n)}\frac{(x-x_{0})^{n}}{n!}+o(x^{n})[/tex]
[tex]f(x)'=-\frac{24}{3-4x^{2}}[/tex]
[tex]f(x)''=\frac{-96x^{2}-72}{16x^{4}-24x^{2}+9}[/tex]
[tex]f(x)'''=\frac{3072x^{5}+4608x^{3}-4032x}{(16x^{4}-24x^{2}+9)^{2}}[/tex]
Come potete vedere già alla derivata terza la situazione inizia a farsi molto pesante, al che facendo fare lo sviluppo di Taylor a Wolfram Alpha, ho visto che affinché l'esercizio possa essere risolto, tale sviluppo deve giungere a
[tex]-\frac{4}{3}x^{2}-\frac{8}{9}x^{4}+o(x^{4})[/tex]
ovvero tornando al limite:
[tex]\lim_{x\rightarrow0}e^{\frac{2}{x^{2}}(-\frac{4}{3}x^{2}-\frac{8}{9}x^{4}+o(x^{4}))}=\lim_{x\rightarrow0}e^{\frac{2}{x^{2}}(-\frac{4}{3}x^{2}-\frac{8}{9}x^{4}+o(x^{4}))}=\lim_{x\rightarrow0}e^{-\frac{8}{3}-\frac{16}{9}x^{2}+o(x^{2}))}=e^{-\frac{8}{3}}=\frac{1}{e^{-\frac{8}{3}}}[/tex]
Ora il mio dubbio è: ad un esame arrivare alla derivata quarta di una cosa del genere è molto pesante, come mi suggerite di procedere?
Risposte
hanno inventato gli sviluppi di Taylor apposta per evitare tutta questa sbrodolata di conti!! devi semplicemente usare lo sviluppo di Taylor del logaritmo:
$ log(1+t)= t - t^2 / 2 +t^3 / 2 + ... + o(t^k) $ quando $t -> 0$
$ log(1+t)= t - t^2 / 2 +t^3 / 2 + ... + o(t^k) $ quando $t -> 0$
Quanto mi sento stupido alle volte... Ho rifatto i conti con il tuo suggerimento e ci ho messo 1/10 del tempo 
"Caterpillar":
ci ho messo 1/10 del tempo
quello è proprio la forza degli sviluppi di Taylor!
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