Sviluppi di Taylor

[Noctis Lucis Caelum]

La mia domanda è questa: come faccio a capire a che ordine fermarmi? So che non c'è un criterio preciso, ma ad esempio:

[math]\lim_{x\to0} \frac{e^x-\cos\,x-\sin\,x}{e^x^2-e^x^3}[/math]

Qua come faccio a capire di dovermi fermare all'ordine 2?

Grazie :D farò più caso a questi dettagli

[ciampax]

Come dicevi, non c'è un criterio e, in generale, neanche un metodo ad occhio. Io consiglio sempre di utilizzare almeno 3/4 termini dello sviluppo e vedere cosa viene fuori. In realtà uno potrebbe anche farsi dei ragionamenti e cercare di prevedere cosa accada, ma in generale il calcolo diretto è più sicuro.

Quello che può aiutare, in questo caso, è il seguente ragionamento:

[math]e^x[/math]

contiene ogni ordine

[math]\cos x[/math]

solo ordini pari

[math]\sin x[/math]

solo ordini dispari.

Questo porta a capire che i termini noti a numeratore risulteranno da esponenziale e coseno, quelli di primo grado da esponenziale e seno, quelli di secondo grado da esponenziale e coseno e così via. E allora questo potrebbe suggerire che usare i primi 2/3 termini degli sviluppi può bastare. Alla fine, ricorda sempre che ciò che viene conservato è il termine di ordine più piccolo.