Sviluppi di Taylor
Spiego: esame di Analisi 2, i quesiti sono a crocette con risultati numerici
Mi si chiede: data \(\displaystyle f(x) = sin(x^3) \) calcolare la derivata di ordine 15 nel punto
x =0
Vuoto più totale sul procedimento da seguire. Questo è solo un esempio se qualcuno mi potesse
rispondere indicando un metodo generale gliene sarei grato!!
Mi si chiede: data \(\displaystyle f(x) = sin(x^3) \) calcolare la derivata di ordine 15 nel punto
x =0
Vuoto più totale sul procedimento da seguire. Questo è solo un esempio se qualcuno mi potesse
rispondere indicando un metodo generale gliene sarei grato!!
Risposte
Siccome \(\displaystyle x = 0 \) e anche \(\displaystyle \sin 0 = 0 \) allora, essendo la derivata 15-esima della forma \(\displaystyle p(x)\cos x^3 + q(x)\sin x^3 \) devi trovare il valore \(\displaystyle p(0) \).
Non avevo dubbi sull'utilizzo dello sciluppo di Taylor, ma come lo calcoli quel p(0)? Anche perchè
la soluzione è \(\displaystyle -15!/7! \) senza che venga calcolato quindi sussiste di sicuro un modo
per farlo solo che non lo riesco a trovare
la soluzione è \(\displaystyle -15!/7! \) senza che venga calcolato quindi sussiste di sicuro un modo
per farlo solo che non lo riesco a trovare
L'espansione in serie della funzione $sin(x^3)$ è:
$x^3-(x^9)/(3!)+(x^15)/(5!)-(x^21)/(7!)+...+(-1)^n(x^(6n+3))/((2n+1)!)+...$
Se fai la derivata 15°, i termini con $x^k,\ k<15$ spariscono, quello con $x^15$ diventa una costante e quegli altri valutano zero in $x=0$.
La derivata 15° di $x^15$ è $(dx^15)/(dx)=15!$, quindi il risultato del quesito è $(15!)/(5!)$
$x^3-(x^9)/(3!)+(x^15)/(5!)-(x^21)/(7!)+...+(-1)^n(x^(6n+3))/((2n+1)!)+...$
Se fai la derivata 15°, i termini con $x^k,\ k<15$ spariscono, quello con $x^15$ diventa una costante e quegli altri valutano zero in $x=0$.
La derivata 15° di $x^15$ è $(dx^15)/(dx)=15!$, quindi il risultato del quesito è $(15!)/(5!)$
Il metodo da usare è quello che usa le serie, cioè quello mostrato da Quinzio e da tutti gli altri.
Mostro solo che non è necessario calcolare tutte le derivate per trovare il risultato. Usando un metodo backtracking per trovare le derivate di cui ho bisogno l'ho calcolato così:
Per comodità segno con \(\displaystyle A = \sin x^3 \) e \(\displaystyle B = \cos x^3 \).
Derivata 1
\(\displaystyle 3x^2\cos x^3 \)
Derivata 2
\(\displaystyle 3(2 x\cos x^3 - 3 x^4\sin x^3) \)
Derivata 3
\(\displaystyle 3(2 \cos x^3 - 18 x^3\sin x^3 - 9 x^6\cos x^3 )\)
Derivata 4
\(\displaystyle 9(-20 x^2\sin x^3 - 36 x^5\cos x^3 + 9 x^8\sin x^3 ) \)
Derivata 5
\(\displaystyle 9(-40 x\sin x^3 -240 x^4\cos x^3 + 180 x^7\sin x^3 + 27 x^{10}\cos x^3) \)
Derivata 6
\(\displaystyle 90(-4 \sin x^3 -108 x^3\cos x^3 + 198 x^6\sin x^3 +81 x^9\cos x^3) + \dotsb \)
Derivata 7
\(\displaystyle 1890(-16 x^2\cos x^3 + 72 x^5\sin x^3 + 63 x^8\cos x^3) + \dotsb \)
Derivata 8
\(\displaystyle 15120(- 4 x\cos x^3 + 51 x^4\sin x^3 + 90 x^7\cos x^3) + \dotsb \)
Derivata 9
\(\displaystyle 15120(- 4 \cos x^3 + 216 x^3\sin x^3 + 783 x^6\cos x^3) + \dotsb \)
Derivata 10
\(\displaystyle 997920(10 x^2\sin x^3 + 81 x^5\cos x^3) + \dotsb \)
Derivata 11
\(\displaystyle 4989600(4 x\sin x^3 + 87 x^4\cos x^3) + \dotsb \)
Derivata 12
\(\displaystyle 19958400(\sin x^3 + 90 x^3\cos x^3) + \dotsb \)
Derivata 13
\(\displaystyle 5448643200 x^2\cos x^3 + \dotsb \)
Derivata 14
\(\displaystyle 10897286400 x\cos x^3 + \dotsb \)
Derivata 15
\(\displaystyle 10897286400 \cos x^3 + \dotsb \)
Che certamente è tutt'altro che un calcolo breve, molto più lungo di quello richiesto.
Mostro solo che non è necessario calcolare tutte le derivate per trovare il risultato. Usando un metodo backtracking per trovare le derivate di cui ho bisogno l'ho calcolato così:
Per comodità segno con \(\displaystyle A = \sin x^3 \) e \(\displaystyle B = \cos x^3 \).
Derivata 1
\(\displaystyle 3x^2\cos x^3 \)
Derivata 2
\(\displaystyle 3(2 x\cos x^3 - 3 x^4\sin x^3) \)
Derivata 3
\(\displaystyle 3(2 \cos x^3 - 18 x^3\sin x^3 - 9 x^6\cos x^3 )\)
Derivata 4
\(\displaystyle 9(-20 x^2\sin x^3 - 36 x^5\cos x^3 + 9 x^8\sin x^3 ) \)
Derivata 5
\(\displaystyle 9(-40 x\sin x^3 -240 x^4\cos x^3 + 180 x^7\sin x^3 + 27 x^{10}\cos x^3) \)
Derivata 6
\(\displaystyle 90(-4 \sin x^3 -108 x^3\cos x^3 + 198 x^6\sin x^3 +81 x^9\cos x^3) + \dotsb \)
Derivata 7
\(\displaystyle 1890(-16 x^2\cos x^3 + 72 x^5\sin x^3 + 63 x^8\cos x^3) + \dotsb \)
Derivata 8
\(\displaystyle 15120(- 4 x\cos x^3 + 51 x^4\sin x^3 + 90 x^7\cos x^3) + \dotsb \)
Derivata 9
\(\displaystyle 15120(- 4 \cos x^3 + 216 x^3\sin x^3 + 783 x^6\cos x^3) + \dotsb \)
Derivata 10
\(\displaystyle 997920(10 x^2\sin x^3 + 81 x^5\cos x^3) + \dotsb \)
Derivata 11
\(\displaystyle 4989600(4 x\sin x^3 + 87 x^4\cos x^3) + \dotsb \)
Derivata 12
\(\displaystyle 19958400(\sin x^3 + 90 x^3\cos x^3) + \dotsb \)
Derivata 13
\(\displaystyle 5448643200 x^2\cos x^3 + \dotsb \)
Derivata 14
\(\displaystyle 10897286400 x\cos x^3 + \dotsb \)
Derivata 15
\(\displaystyle 10897286400 \cos x^3 + \dotsb \)
Che certamente è tutt'altro che un calcolo breve, molto più lungo di quello richiesto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo