[Sviluppi di Maclaurin] Radici quadrate e non solo
Più che altro è un dubbio teorico... esiste lo sviluppo di Maclaurin di funzioni come $sqrt(1 +x)$ o in generale $root(n)(1+x)$?
Li avevo trovati nelle applicazioni ma nella teoria non trovo nulla..
Li avevo trovati nelle applicazioni ma nella teoria non trovo nulla..
Risposte
Informati sul Teorema generalizzato del binomio: ti dice che
$\forall\ |x|<1, (1+x)^alpha=sum_{n=0}^infty((alpha), (n))x^n$, dove il coefficiente binomiale con $alpha$ reale positivo è definito come
$((alpha), (n))=[alpha(alpha-1)...(alpha-n+1)]/(n!)$.
Come vedi è una perfetta generalizzazione del teorema del binomio di Newton (che ne è un caso particolare per $alpha\inNN$).
Se ti serve posso mandarti un po' di materiale sull'argomento.
[edit] Aggiunta la condizione $|x|<1$.
$\forall\ |x|<1, (1+x)^alpha=sum_{n=0}^infty((alpha), (n))x^n$, dove il coefficiente binomiale con $alpha$ reale positivo è definito come
$((alpha), (n))=[alpha(alpha-1)...(alpha-n+1)]/(n!)$.
Come vedi è una perfetta generalizzazione del teorema del binomio di Newton (che ne è un caso particolare per $alpha\inNN$).
Se ti serve posso mandarti un po' di materiale sull'argomento.
[edit] Aggiunta la condizione $|x|<1$.
Interessante... quindi per esempio $sqrt(1+x) = 1 + 1/2x -1/8x^2 +1/16x^3 +o(x^3)$ ?
oh yes.
"Gatto89":
Interessante... quindi per esempio $sqrt(1+x) = 1 + 1/2x -1/8x^2 +1/16x^3 +o(x^3)$ ?
YES
Ok grazie a tutti e 3 
Una cosa: stai attento alla serie che dicevo prima, se $alpha$ non è un numero naturale converge solo per $|x|<1$. Il motivo di questo comportamento ti sarà chiaro quando studierai un po' di analisi complessa (se non la studi già, naturalmente). Ho aggiunto questa informazione nel mio post precedente.
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