Sviluppi
Sapete dirmi lo sviluppo di $(a + b + c)^4$? Esiste una regola generale per trovare la forma di questi sviluppi, ad esempio di $(a + b + c)^5$ o $(a + b)^6$? Tanto per non doverseli buttare giù a memoria...
Ciao
Ciao
Risposte
Per le potenze del binomio c'è il Triangolo di Tartaglia che non rappresenta nient'altro che una proprietà ricorsiva del coefficiente binomiale.
Per i trinomi a+b+c, si usa ancora la potenza del binomio su (a+b)+c e poi ancora sulle potenze dei binomi restanti.
Per i trinomi a+b+c, si usa ancora la potenza del binomio su (a+b)+c e poi ancora sulle potenze dei binomi restanti.
Grazie 
Su Murray R. Spiegel, 'Manuale di Matematica' a pag. 4 è fornita la seguente 'Formula del polinomio'...
$(x_1+x_2+...+x_p)^n= sum (n!)/(n_1!*n_2!*...*n_p!)*x_1^(n_1)*x_2^(n_2)*...*x_p^(n_p)$ (1)
... dove la somma indicata con $sum$ è estesa a tutti gli interi non negativi per cui $n_1+n_2+...+n_p=n$. Su taluni testi i coefficienti $(n!)/(n_1!*n_2!*...*n_p!)$ sono chiamati 'coefficienti multinomiali', chiara allusione ai ben noti 'coefficienti binomiali', a cui si riducono per $p=2$. Ricordo che tanti anni fà, avendo presentato ad un convegno un lavoro che utilizzava proprio questi coefficienti, ho scoperto che molti 'matematici' ne ignoravano completamente l'esistenza
...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$(x_1+x_2+...+x_p)^n= sum (n!)/(n_1!*n_2!*...*n_p!)*x_1^(n_1)*x_2^(n_2)*...*x_p^(n_p)$ (1)
... dove la somma indicata con $sum$ è estesa a tutti gli interi non negativi per cui $n_1+n_2+...+n_p=n$. Su taluni testi i coefficienti $(n!)/(n_1!*n_2!*...*n_p!)$ sono chiamati 'coefficienti multinomiali', chiara allusione ai ben noti 'coefficienti binomiali', a cui si riducono per $p=2$. Ricordo che tanti anni fà, avendo presentato ad un convegno un lavoro che utilizzava proprio questi coefficienti, ho scoperto che molti 'matematici' ne ignoravano completamente l'esistenza
... cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Eccone uno che ne ignora l'esistenza; le cose formalmente troppo complicate presto finiscono dimenticate.
Ihhihihih la ignoravo anch'io; ma continuo ad essere dell'opinione che è più facile impostare oppure ricordare un ragionamento piuttosto che una formula. Ai miei alunni "vieto" di imparare a memoria le formule, tanto poi a via di svolgere gli esercizi e di ricavarsele col ragionamento le imparano lo stesso... 
(e così li frego ehehehe)
(e così li frego ehehehe)
le cose formalmente troppo complicate presto finiscono dimenticate
Da vecchio "ingegnere matematico" concordo sul fatto che sifffatte formule non vadano imparate a memoria, ma è sempre utile ricordarsi che esistono e all'occorrenza sapere il testo dove andarsele a cercare (per esempio, il solito Amerio). Sì, perché a ricavarsele da soli, dopo qualche anno, si rischia di prendere delle cantonate.
Detto dal Re...
Ragazzi
vi confesso che non era mia intenzione scrivere altro in questa discussione. L’intervento di Laura però mi ha in qualche modo ‘ispirato’ e così aggiungerò alcuni ‘puntini sulle i’…
Ripartiamo dunque dalla ‘formula del polinomio’ …
$(x_1+x_2+...+x_p)^n= sum (n!)/(n_1!*n_2!*...*n_p!)*x_1^(n_1)*x_2^(n_2)*...*x_p^(n_p)$ (1)
… e facciamo su di essa un paio di considerazioni. Supponiamo $p=2$ e consideriamo il ‘termine generale’ della somma (1)…
$(n!)/(n_1!*n_2!)*x_1^(n_1)*x_2^(n_2)$ (2)
Per chiunque si è interessato di probabilità e statistica la (2) è una formula familiare ed esprime la probabilità che in $n$ esperimenti aventi due soli possibili esiti l’evento ‘1’ con probabilità $x_1$ si verifichi $n_1$ volte e l’evento ‘2’ con probabilità $x_2$ si verifichi $n_2$ volte. Per esempio supponiamo di estrarre da un urna contenente palline bianche e nere $6$ palline e di sapere che la probabilità che esca una pallina bianca è $.75$, che esca una pallina nera è $.25$. Problema: qual è la probabilità $p$ che escano $3$ palline bianche e $3$ palline nere?… Basta andare a sostituire nella (2) e si trova…
$p= (6!)/(3!*3!) * .75^3*.25^3= .131835…$ (3)
Bene ragazzi!… proviamo ora a ‘complicare’ un poco il problema e supporre che nell’urna vi siano palline bianche, nere e rosse e la probabilità che esca una pallina bianca sia $.5$, che esca una pallina nera $.25$ e che esca una pallina rossa $.25$ e di estrarre sempre $6$ palline. Problema: qual è la probabilità $p$ che escano $3$ palline bianche, $2$ palline nere e $1$ pallina rossa?… Per risolvere basta andare a scrivere il termine generale della (1) nel caso $p=3$…
$(n!)/(n_1!*n_2!*n_3!)*x_1^(n_1)*x_2^(n_2)*x_3^(n_3)$ (4)
... e poi andare a sostituirci dentro i dati esattamente come prima…
$p=(6!)/(3!*2!*1!)*.5^3*.25^2*.25= .1171875$
Non male vero?… soprattutto perché allo stesso modo si opera anche quando $p$ e dell’ordine di $1000$ e $n$ dell’ordine di $100.000$… Fissato $p$ ed $n$ la (1) fornisce la soluzione generale del calcolo della probabilità di una combinazione comunque complessa di $p$ eventi in un numero comunque grande di $n$ esperimenti… non mi pare che ciò sia di poco conto, non è vero?…
Ebbene ragazzi veniamo ad un singolare episodio accaduto a chi scrive una ventina di anni fa circa. Ero stato invitato ad un convegno di ‘Teoria dell’Informazione’ e per l’occasione avevo presentato un lavoro. Dovete sapere che la ‘Teoria dell’Informazione’ è una branca del sapere dove convivono sia matematici sia ingegneri... con i primi che non perdono occasione di esprimere tutta la tracotanza e il malcelato senso di assoluta superiorità nei confronti dei secondi. E’ appena il caso di aggiungere che numerosi matematici erano presenti a quel convegno, mentre da parte nostra era presente solo una ridotta schiera di personaggi in gran parte ‘sconosciuti’ ai più. Il lavoro da me preparato verteva su un possibile potenziamento della capacità di recupero degli errori contenuti in un messaggio da ottenersi con l’uso della soft information. Tralascerò di tediarvi con dettagli tecnici specifici, e mi limiterò a dire che tutto il mio lavoro era stato impostato sulla formula (1), la cui validità davo per scontato fosse per tutti gli esperti del settore cosa ovvia. Con mia gran sorpresa invece al termine della mia esposizione ho dovuto subire numerose ‘contestazioni’ da parte dei matematici presenti, i quali asserivano che la (1) non fosse riportata in alcuno dei loro ‘testi’ e che quindi fosse una mia ‘invenzione’ che prima di essere accettata necessitava di una verifica ‘rigorosa’. Alla mia osservazione che la (1) è nota fin dai tempi di Newton e si trova in un qualunque testo di analisi del primo anno di università, il livello dello scontro è di colpo salito e così lo scrivente, il quale non è un agnello bensì un lupo, ha finito per lasciasi andare a frasi non certo irreprensibili del tipo : ma dove han studiato lor signori?… nel Burundi oppure nello Zimbawe?… al che il chairman ha pensato bene di indire un coffea break fuori programma… 
Al di là dell’aspetto vignettistico dell’episodio, ci terrei a dire una cosa. Nel testo di analisi matematica del biennio propedeutico che ancora conservo [Silvio Cinquini - Maria Cinquini Cibrario Lezioni di Analisi Matematica, Ed. Fusi, Pavia, 1968… vero e proprio ‘cimelio del paleolitico’… ] la formula (1) è riportata a pag. 46 con la seguente aggiunta…
Per brevità omettiamo la dimostrazione della (*), la quale si stabilisce per induzione partendo dallo sviluppo del binomio di Newton
Certo se all’esame di Analisi I fosse capitata proprio tale formula e il sottoscritto per caso non l’avesse ricordata il ‘risultato’ dell’esame sarebbe stato scontato: le necessita di un poco di ripasso… si presenti al prossimo appello… Se però, così tanto per fornire una risposta, avessi biascicato qualcosa del genere…
… per le potenze del binomio c'è il Triangolo di Tartaglia che non rappresenta nient'altro che una proprietà ricorsiva del coefficiente binomiale. Per i trinomi a+b+c, si usa ancora la potenza del binomio su (a+b)+c e poi ancora sulle potenze dei binomi restanti…
… vi assicuro che il ‘risultato’ sarebbe stato che avrei dovuto iscrivermi ad un’altra università…
Altri tempi cara Laura… non è vero?…
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
vi confesso che non era mia intenzione scrivere altro in questa discussione. L’intervento di Laura però mi ha in qualche modo ‘ispirato’ e così aggiungerò alcuni ‘puntini sulle i’…
Ripartiamo dunque dalla ‘formula del polinomio’ …
$(x_1+x_2+...+x_p)^n= sum (n!)/(n_1!*n_2!*...*n_p!)*x_1^(n_1)*x_2^(n_2)*...*x_p^(n_p)$ (1)
… e facciamo su di essa un paio di considerazioni. Supponiamo $p=2$ e consideriamo il ‘termine generale’ della somma (1)…
$(n!)/(n_1!*n_2!)*x_1^(n_1)*x_2^(n_2)$ (2)
Per chiunque si è interessato di probabilità e statistica la (2) è una formula familiare ed esprime la probabilità che in $n$ esperimenti aventi due soli possibili esiti l’evento ‘1’ con probabilità $x_1$ si verifichi $n_1$ volte e l’evento ‘2’ con probabilità $x_2$ si verifichi $n_2$ volte. Per esempio supponiamo di estrarre da un urna contenente palline bianche e nere $6$ palline e di sapere che la probabilità che esca una pallina bianca è $.75$, che esca una pallina nera è $.25$. Problema: qual è la probabilità $p$ che escano $3$ palline bianche e $3$ palline nere?… Basta andare a sostituire nella (2) e si trova…
$p= (6!)/(3!*3!) * .75^3*.25^3= .131835…$ (3)
Bene ragazzi!… proviamo ora a ‘complicare’ un poco il problema e supporre che nell’urna vi siano palline bianche, nere e rosse e la probabilità che esca una pallina bianca sia $.5$, che esca una pallina nera $.25$ e che esca una pallina rossa $.25$ e di estrarre sempre $6$ palline. Problema: qual è la probabilità $p$ che escano $3$ palline bianche, $2$ palline nere e $1$ pallina rossa?… Per risolvere basta andare a scrivere il termine generale della (1) nel caso $p=3$…
$(n!)/(n_1!*n_2!*n_3!)*x_1^(n_1)*x_2^(n_2)*x_3^(n_3)$ (4)
... e poi andare a sostituirci dentro i dati esattamente come prima…
$p=(6!)/(3!*2!*1!)*.5^3*.25^2*.25= .1171875$
Non male vero?… soprattutto perché allo stesso modo si opera anche quando $p$ e dell’ordine di $1000$ e $n$ dell’ordine di $100.000$… Fissato $p$ ed $n$ la (1) fornisce la soluzione generale del calcolo della probabilità di una combinazione comunque complessa di $p$ eventi in un numero comunque grande di $n$ esperimenti… non mi pare che ciò sia di poco conto, non è vero?…
Ebbene ragazzi veniamo ad un singolare episodio accaduto a chi scrive una ventina di anni fa circa. Ero stato invitato ad un convegno di ‘Teoria dell’Informazione’ e per l’occasione avevo presentato un lavoro. Dovete sapere che la ‘Teoria dell’Informazione’ è una branca del sapere dove convivono sia matematici sia ingegneri... con i primi che non perdono occasione di esprimere tutta la tracotanza e il malcelato senso di assoluta superiorità nei confronti dei secondi. E’ appena il caso di aggiungere che numerosi matematici erano presenti a quel convegno, mentre da parte nostra era presente solo una ridotta schiera di personaggi in gran parte ‘sconosciuti’ ai più. Il lavoro da me preparato verteva su un possibile potenziamento della capacità di recupero degli errori contenuti in un messaggio da ottenersi con l’uso della soft information. Tralascerò di tediarvi con dettagli tecnici specifici, e mi limiterò a dire che tutto il mio lavoro era stato impostato sulla formula (1), la cui validità davo per scontato fosse per tutti gli esperti del settore cosa ovvia. Con mia gran sorpresa invece al termine della mia esposizione ho dovuto subire numerose ‘contestazioni’ da parte dei matematici presenti, i quali asserivano che la (1) non fosse riportata in alcuno dei loro ‘testi’ e che quindi fosse una mia ‘invenzione’ che prima di essere accettata necessitava di una verifica ‘rigorosa’. Alla mia osservazione che la (1) è nota fin dai tempi di Newton e si trova in un qualunque testo di analisi del primo anno di università, il livello dello scontro è di colpo salito e così lo scrivente, il quale non è un agnello bensì un lupo, ha finito per lasciasi andare a frasi non certo irreprensibili del tipo : ma dove han studiato lor signori?… nel Burundi oppure nello Zimbawe?… al che il chairman ha pensato bene di indire un coffea break fuori programma…
Al di là dell’aspetto vignettistico dell’episodio, ci terrei a dire una cosa. Nel testo di analisi matematica del biennio propedeutico che ancora conservo [Silvio Cinquini - Maria Cinquini Cibrario Lezioni di Analisi Matematica, Ed. Fusi, Pavia, 1968… vero e proprio ‘cimelio del paleolitico’… ] la formula (1) è riportata a pag. 46 con la seguente aggiunta…
Per brevità omettiamo la dimostrazione della (*), la quale si stabilisce per induzione partendo dallo sviluppo del binomio di Newton
Certo se all’esame di Analisi I fosse capitata proprio tale formula e il sottoscritto per caso non l’avesse ricordata il ‘risultato’ dell’esame sarebbe stato scontato: le necessita di un poco di ripasso… si presenti al prossimo appello… Se però, così tanto per fornire una risposta, avessi biascicato qualcosa del genere…
… per le potenze del binomio c'è il Triangolo di Tartaglia che non rappresenta nient'altro che una proprietà ricorsiva del coefficiente binomiale. Per i trinomi a+b+c, si usa ancora la potenza del binomio su (a+b)+c e poi ancora sulle potenze dei binomi restanti…
… vi assicuro che il ‘risultato’ sarebbe stato che avrei dovuto iscrivermi ad un’altra università…
Altri tempi cara Laura… non è vero?…
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Dal momento che hai citato la mia risposta, va subito detto che non avrei mai dato una risposta del genere ad un esame universitario. Ma qui non siamo in aula o davanti ad un professore, per cui ti potevi risparmiare la stupida conclusione.
Quanto a quella formula, in quella conferenza hai dimostrato per altro una cosa tipica da ingegnere: aver preso per buona una formula senza dimostrazione. Se tu l'avessi dimostrata avresti potuto rispondere in modo più civile ai matematici che, da mio parere, hanno fatto una giusta osservazione, e avresti anche fatto una figura decisamente migliore.
In realtà va detto che formule di quel tipo ce ne sono tantissime e anche molto più complicate, per cui può essere che giovani persone ne ignorino l'esistenza, se trattate su libri datati. Per altro non sono formule "profonde", ovvero non nascondono un significato matematico profondo. Il Teorema di Pitagora è molto più facile di quella formula, ma è molto più profondo. Il fatto che i numeri primi siano infiniti è di dimostrazione facilissima, al contrario di quelle formula, ma è un risultato matematico molto profondo, al contrario di quelle formule. Quindi non c'è da stupirsi se parecchi non le conoscono; le avranno magari anche viste, ma poi dimenticate.
Non hai quindi mostrato una grande abilità in quel convegno, ma hai confermato, come se ce ne fosse bisogno, di avere il più o meno tipico atteggiamento da Ingegnere verso il matematico; le cose sarebbero andate diversamente se avessi fatto vedere di saper provare quella formula.
Quanto a quella formula, in quella conferenza hai dimostrato per altro una cosa tipica da ingegnere: aver preso per buona una formula senza dimostrazione. Se tu l'avessi dimostrata avresti potuto rispondere in modo più civile ai matematici che, da mio parere, hanno fatto una giusta osservazione, e avresti anche fatto una figura decisamente migliore.
In realtà va detto che formule di quel tipo ce ne sono tantissime e anche molto più complicate, per cui può essere che giovani persone ne ignorino l'esistenza, se trattate su libri datati. Per altro non sono formule "profonde", ovvero non nascondono un significato matematico profondo. Il Teorema di Pitagora è molto più facile di quella formula, ma è molto più profondo. Il fatto che i numeri primi siano infiniti è di dimostrazione facilissima, al contrario di quelle formula, ma è un risultato matematico molto profondo, al contrario di quelle formule. Quindi non c'è da stupirsi se parecchi non le conoscono; le avranno magari anche viste, ma poi dimenticate.
Non hai quindi mostrato una grande abilità in quel convegno, ma hai confermato, come se ce ne fosse bisogno, di avere il più o meno tipico atteggiamento da Ingegnere verso il matematico; le cose sarebbero andate diversamente se avessi fatto vedere di saper provare quella formula.
"Luca.Lussardi":
Quanto a quella formula, in quella conferenza hai dimostrato per altro una cosa tipica da ingegnere: aver preso per buona una formula senza dimostrazione.
Pensa che ai soliti aspiranti ingegneri di Genova, negli esami orali ,non solo matematici , ma anche ingegneristici come ad esempio "sistemi energetici", martellano sempre sulle dimostrazioni delle formule dalla termofluidodinamica alla rigenerazione termica degli impianti a vapore!
Per fortuna che ci sono ancora Ingegneri che fanno le cose per bene, e quindi Ingegneri, non ingegneri.
Parlando con vari amici sono a conoscenza delle situazioni di alcune università ( parlo di ingegneria ). Per fortuna in almeno 3 di quelle del nord il livello è ancora alto....
Certmanete è compito del docente stabilire le priorità agli esami... un metodo valido è quello di fare l'esame scritto ( o un progetto ) rivolto all'aspetto applicativo della materia mentre l'orale dovrebbe essere focalizzato sulla parte teorica seguendo un certo rigore.
Certmanete è compito del docente stabilire le priorità agli esami... un metodo valido è quello di fare l'esame scritto ( o un progetto ) rivolto all'aspetto applicativo della materia mentre l'orale dovrebbe essere focalizzato sulla parte teorica seguendo un certo rigore.
@Lupogrigio:
Sicuramente parliamo di altri tempi; non ho mai nascosto di essermi laureata esattamente 15 anni fa a Lecce (magari che era Lecce non l'avevo detto, ma non ha importanza). Ma ti posso garantire che MAI ad un esame mi è stata chiesta una formula presente sul libro (e dico purtroppo, perchè sarebbe stato molto più facile); di solito i prof esordivano così: "signorina, supponiamo di avere queste ipotesi (e scrivevano qualcosa su di un foglio); mi sa dire che cosa possiamo dedurre da ciò?"
E ti assicuro che non erano mai le ipotesi di un teorema noto, cioè studiato nel programma. Questo mi ha fatto capire che saper ragionare correttamente è, per un matematico, più importante di ricordare a memoria una formula. E questo è anche abbastanza ovvio, dato che al matematico non è richiesto di progettare nulla e meno male; lo sai che la maggior parte dei matematici non sanno fare i conti a mente???? Figurati se dovevamo progettare un aereo.
Forse adesso le cose sono cambiate, ma questo non lo posso sapere, anzi, lo chiedo a Luca.Lussardi.
@Luca.Lussardi:
Tu che assisti agli esami, come incominciate voi un esame? Cosa è cambiato in questi 15 anni?
Sicuramente parliamo di altri tempi; non ho mai nascosto di essermi laureata esattamente 15 anni fa a Lecce (magari che era Lecce non l'avevo detto, ma non ha importanza). Ma ti posso garantire che MAI ad un esame mi è stata chiesta una formula presente sul libro (e dico purtroppo, perchè sarebbe stato molto più facile); di solito i prof esordivano così: "signorina, supponiamo di avere queste ipotesi (e scrivevano qualcosa su di un foglio); mi sa dire che cosa possiamo dedurre da ciò?"
E ti assicuro che non erano mai le ipotesi di un teorema noto, cioè studiato nel programma. Questo mi ha fatto capire che saper ragionare correttamente è, per un matematico, più importante di ricordare a memoria una formula. E questo è anche abbastanza ovvio, dato che al matematico non è richiesto di progettare nulla e meno male; lo sai che la maggior parte dei matematici non sanno fare i conti a mente???? Figurati se dovevamo progettare un aereo.
Forse adesso le cose sono cambiate, ma questo non lo posso sapere, anzi, lo chiedo a Luca.Lussardi.
@Luca.Lussardi:
Tu che assisti agli esami, come incominciate voi un esame? Cosa è cambiato in questi 15 anni?
Per Matematica non è cambiato molto; io sono assistente ad Ingegneria e facciamo degli esami orali che fanno ridere.
Posso chiederti dove?
All'Università degli Studi di Pavia.
Grazie
La mia esperienza è diversa ed è basata anche sulle dichiarazioni di una professoressa di geometria che insegna sia ad ingegneria che a matematica e in prima affermava che i quesiti d'esame a Genova sono molto simili fra le due facoltà ( parlo di analisi 1-2 e geometria ), in più negli intervalli esponeva le differenze di approccio degli studenti ed era abbastanza interessante.
Ora mi domando perchè in alcune università i professori tendono a livellare verso il basso la difficoltà degli esami, non solo di matematica. Ok, avranno qualche iscritto in più e il numero dei laureati sarà forse maggiore però faranno del male alla propria università perchè la selezione crea sicuramente qualità.
Ora mi domando perchè in alcune università i professori tendono a livellare verso il basso la difficoltà degli esami, non solo di matematica. Ok, avranno qualche iscritto in più e il numero dei laureati sarà forse maggiore però faranno del male alla propria università perchè la selezione crea sicuramente qualità.
Hai ragione, ma queste cose erano del tutto naturali fino a qualche anno fa. Per di più tieni conto che fino a non moltissimi anni fa ingegneri fisici e matematici avevano praticamente il biennio in comune, seguivano tutto assieme. Ora non è più così, e gli esami sono anche molto diversi in quasi tutte le Facoltà di Atenei italiani. Ora è pur vero che ad una prova orale si pretende sicuramente di più da uno studente di Matematica, ma l'abbassamento del livello come è stato fatto in tanti corsi di laurea credo che sia a volte esagerato.
Si, io mi riferisco al 2002, e ritengo che nelle diverse facoltà vi sono differenze piuttosto significative, tuttavia non bisogna dimenticare che esistono ottime facoltà di ingegneria nelle quali ultimamente si è anche corretto il tiro. Potrei fare un esempio con ingegneria gestionale della mia città natale dove nell'anno della mia iscrizionei il percorso per gli aspiranti gestori ( non erano definibili ingegneri ) era del tutto distaccato dagli altri ingegneri( fisica, matematica,chimica) e il livello degli esami era davvero basso, con classi da 120 persone. Da due anni il piano di studi è cambiato dell'80% e con esso si è innalzato di molto il livello degli esami,al punto che nella laurea specialistica i laureati triennali del "vecchio corso" incontrano notevoli difficoltà. Inoltre il numero di studenti delle classi del secondo anno sono dimezzate.
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