Sviluppare in serie di Laurent
Salve, mentre facevo degli esercizi mi son ritrovato tra le mani questo e non sono riuscito a risolverlo... o almeno non in maniera corretta 
Scrivo testo e procedimento così magari potete vedere dove ho sbagliato.
Le radici di $z^2-2z+2$ sono $z_1 = 1-i$ e $z_2=1+i$
Ho scomposto in fratti semplici la funzione di partenza così da avere:
$i/2 1/(z-1+i) - i/2 1/(z-1-i)$
La prima parte risulta già centrata in $z_1$; la seconda la vado a centrare. Io ho fatto in questo modo, ma credo che in qualcosa ho sbagliato.. Vediamo:
$ 1/(z-1-i) = 1/(z-1+i-2i) = 1/(-(1-i)+z-2i) = - 1/(1-i-z+2i) = -1/((1-i)*(1-(z-2i)/(1-i))) = -1/(1-i) * 1/(1- ((z-2i)/(1-i)) $
Ora posso vedere $1/(1-((z-2i)/(1-i))) = \sum_{n>=0} ((z-2i)/(1-i))^n$
se $|(z-2i)/(1-i)| < 1$
E non riesco a dimostrare quest'ultima cosa, ho provato ma non ci sono riuscito
$|(z-2i)/(1-i)| < 1 rArr |z-2i| < |1-i|$
Ho provato a far:
$|z-1+i +1-3i| < |1-i|$ per poterlo comparare alle indicazioni dell'esercizio ovvero che $0
Sono stato solo incapace di risolvere quella disequazione o ho sbagliato anche nel modo in cui ho centrato quella funzione?
Grazie per gli eventuali suggerimenti
Scrivo testo e procedimento così magari potete vedere dove ho sbagliato.
"Il Compito":
Sviluppare in serie di Laurent la funzione $f(z)= 1 / (z^2-2z+2)$
nella corona $C_2 = {z in CC : 0<= |z - z_1| <= sqrt(2)}$ dove $z_1 = 1 - i$
Le radici di $z^2-2z+2$ sono $z_1 = 1-i$ e $z_2=1+i$
Ho scomposto in fratti semplici la funzione di partenza così da avere:
$i/2 1/(z-1+i) - i/2 1/(z-1-i)$
La prima parte risulta già centrata in $z_1$; la seconda la vado a centrare. Io ho fatto in questo modo, ma credo che in qualcosa ho sbagliato.. Vediamo:
$ 1/(z-1-i) = 1/(z-1+i-2i) = 1/(-(1-i)+z-2i) = - 1/(1-i-z+2i) = -1/((1-i)*(1-(z-2i)/(1-i))) = -1/(1-i) * 1/(1- ((z-2i)/(1-i)) $
Ora posso vedere $1/(1-((z-2i)/(1-i))) = \sum_{n>=0} ((z-2i)/(1-i))^n$
se $|(z-2i)/(1-i)| < 1$
E non riesco a dimostrare quest'ultima cosa, ho provato ma non ci sono riuscito
$|(z-2i)/(1-i)| < 1 rArr |z-2i| < |1-i|$
Ho provato a far:
$|z-1+i +1-3i| < |1-i|$ per poterlo comparare alle indicazioni dell'esercizio ovvero che $0
Sono stato solo incapace di risolvere quella disequazione o ho sbagliato anche nel modo in cui ho centrato quella funzione?
Grazie per gli eventuali suggerimenti
Risposte
Devi far uscire le potenze di [tex]z-(1-\text{i})[/tex] da quella serie geometrica, non quelle di [tex]z-2\text{i}[/tex]!
Insomma, hai sbagliato a mettere in evidenza: dovevi raggruppare [tex](z-1+\text{i})-2\text{i}[/tex] al denominatore e mettere in evidenza [tex]2\text{i}[/tex] per ottenere [tex]\left[ \frac{z-1+\text{i}}{2\text{i}}-1\right][/tex]... In tal modo ottenevi una serie geometrica di ragione [tex]\frac{z-1+\text{i}}{2\text{i}}[/tex], che era proprio quello che ti serviva.
Un altro metodo più semplice è notare che:
[tex]\frac{1}{z^2-2z+2}=\frac{1}{z-1+\text{i}}\cdot \frac{1}{z-1-\text{i}}[/tex]
con la seconda frazione che si sviluppa in serie geometrica come detto sopra; lo sviluppo di Laurent si ottiene allora moltiplicando membro a membro tutti gli elementi della serie geometrica per il fattore [tex]\frac{1}{z-1+\text{i}}[/tex].
Se fai i conti, in virtù dell'unicità dello sviluppo, questi due metodi devono necessariamente darti lo stesso risultato.
Insomma, hai sbagliato a mettere in evidenza: dovevi raggruppare [tex](z-1+\text{i})-2\text{i}[/tex] al denominatore e mettere in evidenza [tex]2\text{i}[/tex] per ottenere [tex]\left[ \frac{z-1+\text{i}}{2\text{i}}-1\right][/tex]... In tal modo ottenevi una serie geometrica di ragione [tex]\frac{z-1+\text{i}}{2\text{i}}[/tex], che era proprio quello che ti serviva.
Un altro metodo più semplice è notare che:
[tex]\frac{1}{z^2-2z+2}=\frac{1}{z-1+\text{i}}\cdot \frac{1}{z-1-\text{i}}[/tex]
con la seconda frazione che si sviluppa in serie geometrica come detto sopra; lo sviluppo di Laurent si ottiene allora moltiplicando membro a membro tutti gli elementi della serie geometrica per il fattore [tex]\frac{1}{z-1+\text{i}}[/tex].
Se fai i conti, in virtù dell'unicità dello sviluppo, questi due metodi devono necessariamente darti lo stesso risultato.
Grazie Quindi magari evito di dividerlo in due parti se ho una funzione simile a questa con due radici di cui una già centrata?
Ancora grazie per l'aiuto
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