Sviluppabilità in serie di Taylor (analiticità)
Ciao a tutti,
della definizione a seguire c'è una parte che non comprendo, ovvero se tale convergenza di cui parla sia puntuale o uniforme e non riesco a capirlo, ci ho ragionato su un attimo ma non mi è chiaro qualcosa. Spero possiate aiutarmi e vi ringrazio.
Una funzione di classe $C^oo$ su $(a,b)$ si dice sviluppabile i s.d.T o analitica in $x_0\in(a,b)$ se esiste $delta>0$ t.c la serie di taylor con centro $x_0 $ converge nell'intervallo $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ ed abbia ivi per somma $f$.
Se analitica in ogni $x_0$ di $(a,b)$ si dice essere analitica in $(a,b)$.
Tecnicamente ho pensato sarebbe come prendere il polinomio di taylor e considerarlo la ridotta ennesima e poi mandarlo al limite. Ma non ho risolto il problema nemmeno così perché non capisco se mando al limite come puntuale o se scelgo prima un epsilon a cui trovo associato un indice che dipenda solo da lui e non da x (quidni l'uniforme).
della definizione a seguire c'è una parte che non comprendo, ovvero se tale convergenza di cui parla sia puntuale o uniforme e non riesco a capirlo, ci ho ragionato su un attimo ma non mi è chiaro qualcosa. Spero possiate aiutarmi e vi ringrazio.
Una funzione di classe $C^oo$ su $(a,b)$ si dice sviluppabile i s.d.T o analitica in $x_0\in(a,b)$ se esiste $delta>0$ t.c la serie di taylor con centro $x_0 $ converge nell'intervallo $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ ed abbia ivi per somma $f$.
Se analitica in ogni $x_0$ di $(a,b)$ si dice essere analitica in $(a,b)$.
Tecnicamente ho pensato sarebbe come prendere il polinomio di taylor e considerarlo la ridotta ennesima e poi mandarlo al limite. Ma non ho risolto il problema nemmeno così perché non capisco se mando al limite come puntuale o se scelgo prima un epsilon a cui trovo associato un indice che dipenda solo da lui e non da x (quidni l'uniforme).

Risposte
Fino adesso non si è parlato di uniformità. Tutte le convergenze sono da intendersi in senso puntuale.
Poi vedrai che, in effetti, la serie di Taylor converge uniformemente sui compatti contenuti nell'intervallo di analiticità.
Poi vedrai che, in effetti, la serie di Taylor converge uniformemente sui compatti contenuti nell'intervallo di analiticità.
Grazie per il tuo aiuto dissonance.
Buona serata
Buona serata

Una piccola considerazione su questo:
Il problema di questa cosa è la presenza di o piccolo in quanto se $f in C^(infty)$ in qualche intervallo e $x_0$ è interno a tale intervallo allora
Supposto che $sum_(k=0)^(n)(f^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k$ converga puntualmente verso qualcosa, si deve riuscire a gestire l’ultimo termine che è $o_(x_0)(x-x_0)^k$
Il fatto che $phi->0$ ti dice che è localmente limitata.
La successione di funzioni $(x-x_0)^n->0$ solo se $x in (x_0-1,x_0+1)$.
Questo significa che tramite questo procedimento troverai al più un intervallo contenuto in $(x_0-1,x_0+1)$ di cui non puoi conoscere quasi nulla perché non hai controllo sulla funzione $phi$. Anche se riuscissi a determinare l’insieme sarebbe un po’ scarso come risultato perché l’uguaglinza tra $f$ e la sua serie di taylor l’avresti in un intervallo di ampiezza minore di uno.
"jambon":
prendere il polinomio di Taylor ... e poi mandarlo a limite
Il problema di questa cosa è la presenza di o piccolo in quanto se $f in C^(infty)$ in qualche intervallo e $x_0$ è interno a tale intervallo allora
$sum_(k=0)^(n)(f^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k + (x-x_0)^nphi(x)$ dove $lim_(x->x_0)phi(x)=0$
Supposto che $sum_(k=0)^(n)(f^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k$ converga puntualmente verso qualcosa, si deve riuscire a gestire l’ultimo termine che è $o_(x_0)(x-x_0)^k$
Il fatto che $phi->0$ ti dice che è localmente limitata.
La successione di funzioni $(x-x_0)^n->0$ solo se $x in (x_0-1,x_0+1)$.
Questo significa che tramite questo procedimento troverai al più un intervallo contenuto in $(x_0-1,x_0+1)$ di cui non puoi conoscere quasi nulla perché non hai controllo sulla funzione $phi$. Anche se riuscissi a determinare l’insieme sarebbe un po’ scarso come risultato perché l’uguaglinza tra $f$ e la sua serie di taylor l’avresti in un intervallo di ampiezza minore di uno.