Sviluppabilità in serie di Fourier
Ciao a tutti! 
Volevo chiedervi un chiarimento sulla sviluppabilità delle funzioni in serie di Fourier: io ho due libri (Pagani-Salsa vol.2, Citrini vol.2) in cui è riportato, fra i vari teoremi, un criterio che afferma:
Se $f$ è $tau$ periodica, continua su ogni intervallo limitato eccetto al più un numero finito di punti (che possono essere di discontinuità di 1° o 2° specie), e l'integrale eventualmente improprio $ int_(0)^(tau) |f(x)| dx $ è convergente, allora la serie di Fourier di $f$ è convergente in ogni punto $x$ di continuità o di salto della $f$ in cui sia soddisfatta la condizione (D) (che in pratica sarebbe: derivabilità nel punto, oppure esistono finite le derivate nel punto, oppure esistono finite le pseudoderivate nel punto).
Insomma, per farla breve, la funzione può essere sviluppata in serie di Fourier anche se è illimitata, a patto che rispetti tutte quelle condizioni, fra cui quella di essere assolutamente integrabile.
Però, su un eserciziario ho trovato scritto che, nel caso di una $f$ reale più generale possibile, "$f$ periodica è sviluppabile in serie di Fourier se vale UNA delle seguenti condizioni:
1) $f$ è limitata e monotona a tratti su un periodo
2) il QUADRATO di $f$ è integrabile su un periodo"
Come si conciliano questi due risultati?
Per la condizione 1) ok, se non mi sbaglio il fatto che $f$ sia continua a tratti e periodica implica che sia anche limitata e monotona a tratti su un periodo.
L'eserciziario osserva che la 1) implica la 2).
Ma per la condizione 2): come mai nel primo criterio è richiesta la convergenza di $int |f|$ e nel secondo invece la convergenza di $int f^2$? Mi sembra che le due condizioni non si implichino a vicenda in nessun modo!!
Grazie a chi vorrà rispondere!
Volevo chiedervi un chiarimento sulla sviluppabilità delle funzioni in serie di Fourier: io ho due libri (Pagani-Salsa vol.2, Citrini vol.2) in cui è riportato, fra i vari teoremi, un criterio che afferma:
Se $f$ è $tau$ periodica, continua su ogni intervallo limitato eccetto al più un numero finito di punti (che possono essere di discontinuità di 1° o 2° specie), e l'integrale eventualmente improprio $ int_(0)^(tau) |f(x)| dx $ è convergente, allora la serie di Fourier di $f$ è convergente in ogni punto $x$ di continuità o di salto della $f$ in cui sia soddisfatta la condizione (D) (che in pratica sarebbe: derivabilità nel punto, oppure esistono finite le derivate nel punto, oppure esistono finite le pseudoderivate nel punto).
Insomma, per farla breve, la funzione può essere sviluppata in serie di Fourier anche se è illimitata, a patto che rispetti tutte quelle condizioni, fra cui quella di essere assolutamente integrabile.
Però, su un eserciziario ho trovato scritto che, nel caso di una $f$ reale più generale possibile, "$f$ periodica è sviluppabile in serie di Fourier se vale UNA delle seguenti condizioni:
1) $f$ è limitata e monotona a tratti su un periodo
2) il QUADRATO di $f$ è integrabile su un periodo"
Come si conciliano questi due risultati?
Per la condizione 1) ok, se non mi sbaglio il fatto che $f$ sia continua a tratti e periodica implica che sia anche limitata e monotona a tratti su un periodo.
L'eserciziario osserva che la 1) implica la 2).
Ma per la condizione 2): come mai nel primo criterio è richiesta la convergenza di $int |f|$ e nel secondo invece la convergenza di $int f^2$? Mi sembra che le due condizioni non si implichino a vicenda in nessun modo!!
Grazie a chi vorrà rispondere!
Risposte
...Nessuno che abbia idee in merito? ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Se per caso c'entrano nozioni di Analisi Funzionale, metriche integrali di $L_2$ eccetera, non fatevi problemi a spiegarmi tutto, tanto anche quella parte è compresa nel programma che sto studiando
Io ho pensato una cosa comunque: dato che per le serie di Fourier vale l'uguaglianza di Parseval:
$1/piint_(-pi)^(pi) f^2(x) dx = a_o^2/2 + sum_(n=1)^(+infty)(a_n^2+b_n^2)$ (ovviamente se $f$ è periodica, continua a tratti eccetera)
Allora affinché la serie al secondo membro converga è necessario che la $f$ sia quadrato-integrabile... (cioè integrabile nel senso di $L_2$).
Essendo la serie al secondo membro una maggiorante per la serie di Fourier (dato che $ a_0/2 + sum_(n=1)^(+infty)(a_ncosnx + b_nsinnx)≤ a_o^2/2 + sum_(n=1)^(+infty)(a_n^2+b_n^2)$ ) allora se $f$ è quadrato integrabile la serie di Fourier converge, quindi la $f$ è sviluppabile in serie di Fourier.
E' corretto fino a qui...?
Ma resta il fatto che non capisco come mai uno dei due criteri usi $int|f|$ e l'altro il quadrato :O
Se per caso c'entrano nozioni di Analisi Funzionale, metriche integrali di $L_2$ eccetera, non fatevi problemi a spiegarmi tutto, tanto anche quella parte è compresa nel programma che sto studiando
Io ho pensato una cosa comunque: dato che per le serie di Fourier vale l'uguaglianza di Parseval:
$1/piint_(-pi)^(pi) f^2(x) dx = a_o^2/2 + sum_(n=1)^(+infty)(a_n^2+b_n^2)$ (ovviamente se $f$ è periodica, continua a tratti eccetera)
Allora affinché la serie al secondo membro converga è necessario che la $f$ sia quadrato-integrabile... (cioè integrabile nel senso di $L_2$).
Essendo la serie al secondo membro una maggiorante per la serie di Fourier (dato che $ a_0/2 + sum_(n=1)^(+infty)(a_ncosnx + b_nsinnx)≤ a_o^2/2 + sum_(n=1)^(+infty)(a_n^2+b_n^2)$ ) allora se $f$ è quadrato integrabile la serie di Fourier converge, quindi la $f$ è sviluppabile in serie di Fourier.
E' corretto fino a qui...?
Ma resta il fatto che non capisco come mai uno dei due criteri usi $int|f|$ e l'altro il quadrato :O
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