Suriettività
definizione in analisi: una f è detta suriettiva se comunque preso un elemento del codominio esiste nel dominio almeno una x che ha come immagine quel valore scelto del codominio.
definizione in algebra: una applicazione (ricordiamo che una f. è un caso particolare di applicazione) è detta suriettiva se codominio e immagine coincidono.
pertanto y = tghx non è, utilizzando la definizione algebrica, suriettiva, in quanto il codominio è R ma l'immagine è (-1,1), quindi non sarebbe invertibile. invece è invertibile!
ne consegue che le due definizioni di cui sopra coincidono solo se al posto del codominio, nella definizione "analitica", ci fosse l'immagine.
ma se così fosse tutte le f sono suriettive perchè ad ogni elemento dell'immagine è ovvio che corrisponde un elemento del dominio!!...
bah... se qualcuno avesse capito cosa voglio dire e magari avesse un po più chiare le idee, sarei lieto se me le schiarisse anche a me.
saluti, uebermensch.
definizione in algebra: una applicazione (ricordiamo che una f. è un caso particolare di applicazione) è detta suriettiva se codominio e immagine coincidono.
pertanto y = tghx non è, utilizzando la definizione algebrica, suriettiva, in quanto il codominio è R ma l'immagine è (-1,1), quindi non sarebbe invertibile. invece è invertibile!
ne consegue che le due definizioni di cui sopra coincidono solo se al posto del codominio, nella definizione "analitica", ci fosse l'immagine.
ma se così fosse tutte le f sono suriettive perchè ad ogni elemento dell'immagine è ovvio che corrisponde un elemento del dominio!!...
bah... se qualcuno avesse capito cosa voglio dire e magari avesse un po più chiare le idee, sarei lieto se me le schiarisse anche a me.
saluti, uebermensch.
Risposte
Hai scritto:
“definizione in analisi: una f è detta suriettiva se comunque preso un elemento del codominio esiste nel dominio almeno una x che ha come immagine quel valore scelto del codominio.
definizione in algebra: una applicazione (ricordiamo che una f. è un caso particolare di applicazione) è detta suriettiva se codominio e immagine coincidono”
Le due definizioni sono perfettamente equivalenti!
Se f è suriettiva in analisi lo è anche in algebra.
Infatti l’immagine è sempre un sottoinsieme del codominio. Basta dimostrare che anche il codominio è un sottoinsieme dell’immagine. Sia y nel codominio. Per la definizione di analisi allora esiste almeno un x del dominio con f(x)=y e quindi y sta nell’immagine.
Se f è suriettiva per l’algebra lo è anche per l’analisi.
Sia y un elemento del codominio. Poiché il codominio coincide con l’immagine allora y sta nell’immagine di f ed è quindi immagine di almeno un x del dominio.
L’esempio della tangente iperbolica non tocca la questione, ma solo il fatto che una funzione non è solo la formula, ma anche il dominio e il codominio! Senza cercare esempi astrusi: f(x)=x^2 è invertibile? Risposta: se dom=R e cod=R allora f non è né iniettiva, né suriettiva; se dom=R e cod=R+ allora f non è iniettiva ma è suriettiva; se dom=R+ e cod=R allora f è iniettiva ma non suriettiva; se dom=R+ e cod=R+ allora f è sia iniettiva che suriettiva, e quindi invertibile!
Modificato da - cavia il 05/02/2004 19:17:24
Modificato da - cavia il 05/02/2004 19:19:17
“definizione in analisi: una f è detta suriettiva se comunque preso un elemento del codominio esiste nel dominio almeno una x che ha come immagine quel valore scelto del codominio.
definizione in algebra: una applicazione (ricordiamo che una f. è un caso particolare di applicazione) è detta suriettiva se codominio e immagine coincidono”
Le due definizioni sono perfettamente equivalenti!
Se f è suriettiva in analisi lo è anche in algebra.
Infatti l’immagine è sempre un sottoinsieme del codominio. Basta dimostrare che anche il codominio è un sottoinsieme dell’immagine. Sia y nel codominio. Per la definizione di analisi allora esiste almeno un x del dominio con f(x)=y e quindi y sta nell’immagine.
Se f è suriettiva per l’algebra lo è anche per l’analisi.
Sia y un elemento del codominio. Poiché il codominio coincide con l’immagine allora y sta nell’immagine di f ed è quindi immagine di almeno un x del dominio.
L’esempio della tangente iperbolica non tocca la questione, ma solo il fatto che una funzione non è solo la formula, ma anche il dominio e il codominio! Senza cercare esempi astrusi: f(x)=x^2 è invertibile? Risposta: se dom=R e cod=R allora f non è né iniettiva, né suriettiva; se dom=R e cod=R+ allora f non è iniettiva ma è suriettiva; se dom=R+ e cod=R allora f è iniettiva ma non suriettiva; se dom=R+ e cod=R+ allora f è sia iniettiva che suriettiva, e quindi invertibile!
Modificato da - cavia il 05/02/2004 19:17:24
Modificato da - cavia il 05/02/2004 19:19:17
bene! quindi dici esattamente ciò che dicevo io! forse mi sono spiegato male: in analisi si fa coincidere l'immagine col codominio! anche perchè il codominio di una funzione è per definizione un campo, e R+ non è affatto un campo!!
ciao
ciao
E chi l'ha mai detto che il codominio di una funzione deve essere un campo? Forse solo il tuo prof!
Cavia
Cavia
E non è nemmeno vero che dalla definizione di analisi risulta che il codominio coincide con l'immagine: solo se la funzione è suriettiva!!
Cavia
Cavia
le definizioni che mi hanno insegnato al corso sono le seguenti:
si chiama applicazione una legge che ad ogni elemento di un insieme ne associa uno di un altro. se l'insieme d'arrivo, alias codominio, è un campo allora l'applicazione è detta funzione!
l'hai detto tu che immagine e codominio coincidono in analisi!!
hai detto che se consideriamo R come codominio della parabola allora, la parabola non è suriettiva, se consideriamo R+ allora è suriettiva... grazie: quella è l'immagine!! quindi hai, abbiamo, si fa, coincidere immagine e codominio!!!
ubermensch
si chiama applicazione una legge che ad ogni elemento di un insieme ne associa uno di un altro. se l'insieme d'arrivo, alias codominio, è un campo allora l'applicazione è detta funzione!
l'hai detto tu che immagine e codominio coincidono in analisi!!
hai detto che se consideriamo R come codominio della parabola allora, la parabola non è suriettiva, se consideriamo R+ allora è suriettiva... grazie: quella è l'immagine!! quindi hai, abbiamo, si fa, coincidere immagine e codominio!!!
ubermensch
Rileggi attentamente e vadrai che non ho affatto detto che immagine e codominio coincidono in analisi. Ti lascio annegare nel bicchiere delle definizioni che hai citato. E' il nuovo che avanza!
Modificato da - cavia il 06/02/2004 14:33:56
Modificato da - cavia il 06/02/2004 14:33:56
forse è meglio che rileggi tu attentamente l'ultimo paragrafo del tuo primo messaggio!
resuscito questo mio antichissimo topic per dire che finalmente ho scoperto che esiste una cosa che si chiama "suriettificazione di una applicazione", che consiste semplicemente nel restringere il codominio di una applicazione all'immagine...
quindi non avevo tutti i torti...
quindi non avevo tutti i torti...
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