Supposizioni in alcune dimostrazioni
Ciao! Studiando alcune dimostrazioni a volte vengono fatte delle supposizioni che, seppur intuitive, non riesco a dedurre formalmente. Vi riporto un esempio.
Mi è intuitivamente chiarissimo che, essendo $x \to \infty$, possiamo supporre $x>0$ perché siamo interessati a cosa succede "per valori di $x$ grandi e positivi"; tuttavia non saprei da dove dedurlo formalmente "in formule".
L'unica cosa che mi sembra riguardi la quantificazione di $x$ è nella definizione di limite per $x \to \infty$: infatti da essa c'è una quantificazione del tipo "$\exists M_{\varepsilon}>0$ tale che se $x>M_{\varepsilon}$", che in effetti porta a $x>M_{\varepsilon}>0$" e dunque $x>0$, ma a priori cosa mi assicura che in effetti quella condizione (c'è un "se") è verificata? Forse proprio il fatto che sto andando al limite per $x \to \infty$?
Spero di essermi spiegato, è una cosa che mi confonde abbastanza e quindi sicuramente anche la spiegazione del dubbio è confusa a sua volta. Grazie!
Edit: Rimossa una formula di troppo.
Dimostriamo che
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \int_x^{2x} e^{-t^2} \text{d}t = 0$$
Supponiamo $x>0$, allora per monotonia dell'esponenziale è $e^{-t^2} \leq e^{-x^2}$ e quindi
$$0 \leq \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \int_x^{2x} e^{-t^2} \text{d}t \leq \lim_{x \to \infty} e^{-x^2} =0$$
Dunque per il teorema dei due carabinieri il limite è $0$.
Mi è intuitivamente chiarissimo che, essendo $x \to \infty$, possiamo supporre $x>0$ perché siamo interessati a cosa succede "per valori di $x$ grandi e positivi"; tuttavia non saprei da dove dedurlo formalmente "in formule".
L'unica cosa che mi sembra riguardi la quantificazione di $x$ è nella definizione di limite per $x \to \infty$: infatti da essa c'è una quantificazione del tipo "$\exists M_{\varepsilon}>0$ tale che se $x>M_{\varepsilon}$", che in effetti porta a $x>M_{\varepsilon}>0$" e dunque $x>0$, ma a priori cosa mi assicura che in effetti quella condizione (c'è un "se") è verificata? Forse proprio il fatto che sto andando al limite per $x \to \infty$?
Spero di essermi spiegato, è una cosa che mi confonde abbastanza e quindi sicuramente anche la spiegazione del dubbio è confusa a sua volta. Grazie!
Edit: Rimossa una formula di troppo.
Risposte
Sì, è così.
Grazie per la conferma gugo! Quindi in generale quando $x \to \infty$ (rispettivamente $x \to -\infty$) fissato $K>0$ arbitrario posso anche supporre $x>K$ (rispettivamente $x<-K$), perché se $M_{\varepsilon}>0$ soddisfa la definizione di$ M_{\varepsilon}'>M_{\varepsilon}>0 $ limite allora a maggior ragione la soddisfa un qualsiasi $M_{\varepsilon}'>M_{\varepsilon}>0$ (rispettivamente la soddisfa un altro $-M_{\varepsilon}'<-M_{\varepsilon}<0$) e dunque basta prendere $M_{\varepsilon}'>K$ (rispettivamente $-M_{\varepsilon}'<-K$), ha senso?
Allo stesso modo: se sono nel caso in cui $x \to x_0$ con $x_0 \in \mathbb{R}$ fissato $h>0$ arbitrario posso sempre supporre $xx_0-h$ giostrando opportunamente un vincolo su $\delta$. Confermi? Grazie ancora!
Allo stesso modo: se sono nel caso in cui $x \to x_0$ con $x_0 \in \mathbb{R}$ fissato $h>0$ arbitrario posso sempre supporre $x
Sì, sì, è ovvio.
Quando ho di questi dubbi, il che succede spesso, cerco di fare qualche conto. Il dubbio è: "abbiamo studiato \(x\to \infty\), ma succede se \(x\to -\infty\)"? Proviamo a fare un cambio di variabile, per capirci qualcosa in più: poniamo \(y=-x\), cosicché \(y\to \infty\). Ora
\[
\frac{1}{x}\int_x^{2x}e^{-t^2}\, dt= \frac{-1}{y}\int_{-y}^{-2y} e^{-t^2}\, dt =\frac{1}{y}\int_y^{2y}e^{-s^2}\, ds.\]
Ovvero, lo stesso integrale di prima.
\[
\frac{1}{x}\int_x^{2x}e^{-t^2}\, dt= \frac{-1}{y}\int_{-y}^{-2y} e^{-t^2}\, dt =\frac{1}{y}\int_y^{2y}e^{-s^2}\, ds.\]
Ovvero, lo stesso integrale di prima.
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