Superficie totale di un solido
Salve a tutti, sono nuovo sul forum 
Mi servirebbe il vostro aiuto con un esercizio di analisi, devo calcolare la superficie totale del seguente solido : $ {(x,y,z) \in R^3 : x^2 +y^2+3 <= 4x, x<=z<=2x } $
Si tratta di un cilindro infinito sull'asse $z$ troncato dai piani $z=x$ e $z=2x$. Per quanto riguarda le superfici di base non ho problemi, ho applicato la formula $ \int \int_{D} sqrt(1+((\partial(f(x,y)))/\(partial(x)))^2+((\partial(f(x,y)))/\(partial(y)))^2) dx dy $ utilizzando come $f(x,y)$ rispettivamente $x$ e $2x$ sul dominio $D$ dato dalla circonferenza di raggio $1$ sottostante il solido.
Ora non so proprio come calcolare la superficie laterale, devo riadattare la predecente formula anche in questo caso? o esiste un altro procedimento di cui sono all'oscuro?
Grazie per le risposte
Mi servirebbe il vostro aiuto con un esercizio di analisi, devo calcolare la superficie totale del seguente solido : $ {(x,y,z) \in R^3 : x^2 +y^2+3 <= 4x, x<=z<=2x } $
Si tratta di un cilindro infinito sull'asse $z$ troncato dai piani $z=x$ e $z=2x$. Per quanto riguarda le superfici di base non ho problemi, ho applicato la formula $ \int \int_{D} sqrt(1+((\partial(f(x,y)))/\(partial(x)))^2+((\partial(f(x,y)))/\(partial(y)))^2) dx dy $ utilizzando come $f(x,y)$ rispettivamente $x$ e $2x$ sul dominio $D$ dato dalla circonferenza di raggio $1$ sottostante il solido.
Ora non so proprio come calcolare la superficie laterale, devo riadattare la predecente formula anche in questo caso? o esiste un altro procedimento di cui sono all'oscuro?
Grazie per le risposte
Risposte
Per la superficie laterale, hai bisogno di una rappresentazione parametrica della superficie stessa.
Grazie per il suggerimento, però ancora non ho ben capito come procedere.
Per parametrizzare la curva suppongo mi convenga usare le coordinate cilindriche, facendo anche una traslazione del centro degli assi in modo da avere il cilindro centrato nell'origine.
La parametrizzazione che ho trovato è la seguente:
$ x = cos\theta -2 $
$ y = sen\theta $
$ z = z $
con le seguenti limitazioni
$ 0<=\theta<=2\pi $
$ sen\theta<=z<=2sen\theta$
E' corretto? Successivamente come devo impostare il calcolo della superficie?
Per parametrizzare la curva suppongo mi convenga usare le coordinate cilindriche, facendo anche una traslazione del centro degli assi in modo da avere il cilindro centrato nell'origine.
La parametrizzazione che ho trovato è la seguente:
$ x = cos\theta -2 $
$ y = sen\theta $
$ z = z $
con le seguenti limitazioni
$ 0<=\theta<=2\pi $
$ sen\theta<=z<=2sen\theta$
E' corretto? Successivamente come devo impostare il calcolo della superficie?
Curva? Che curva? Stiamo parlando di superficie. E per calcolare la medesima di questa, devi applicare un integrale di superficie, che spero tu conosca (ovvero: spero tu lo abbia studiato dalla teoria).
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