Superficie regolare
Salve, ho problemi con questo esercizio :
Sia $S$ la superficie ottenuta dalla rotazione di un angolo piatto attorno all’asse z della curva $z = arctanx$ con $x ∈ [0,1]$ e sia $S$ orientata in modo che la terza componente della normale risulti positiva. Sia inoltre
$F(x,y,z) = ( (xz)/(x^2+y^2) , (yz)/(x^2+y^2), xy)$
Scrivere l’equazione del piano tangente ad S nel punto $(0,sqrt3/3,pi/6)$
Calcolare il flusso di $F$ attraverso $S$.
Ho costruito il dominio $D = {0<=x<=1$ , $0<=z<=arctgx}$ ma non so cosa fare, cioè se calcolare il flusso col teorema della divergenza oppure no e anche il piano tangente mi mette difficoltà. Mi servirebbe un aiuto
Sia $S$ la superficie ottenuta dalla rotazione di un angolo piatto attorno all’asse z della curva $z = arctanx$ con $x ∈ [0,1]$ e sia $S$ orientata in modo che la terza componente della normale risulti positiva. Sia inoltre
$F(x,y,z) = ( (xz)/(x^2+y^2) , (yz)/(x^2+y^2), xy)$
Scrivere l’equazione del piano tangente ad S nel punto $(0,sqrt3/3,pi/6)$
Calcolare il flusso di $F$ attraverso $S$.
Ho costruito il dominio $D = {0<=x<=1$ , $0<=z<=arctgx}$ ma non so cosa fare, cioè se calcolare il flusso col teorema della divergenza oppure no e anche il piano tangente mi mette difficoltà. Mi servirebbe un aiuto
Risposte
Per trovare il piano tangente ti serve una parametrizzazione di quella superficie, e le superfici di rotazione hanno una parametrizzazione standard.
Per il flusso devi stare un po' attento, perche' quella superficie non "delimita" un volume. Devi giocare un po' con il teorema della divergenza.
Per il flusso devi stare un po' attento, perche' quella superficie non "delimita" un volume. Devi giocare un po' con il teorema della divergenza.
Quindi se ho capito bene posso parametrizzare la mia superficie
$\{(x=tcostheta),(y=tsentheta),(z=arctg(t)):}$ $t\in[0,1]$ e $theta \in[0,pi]$ giusto?
Ora come procedo? Scusa ma sono un po' in panne
$\{(x=tcostheta),(y=tsentheta),(z=arctg(t)):}$ $t\in[0,1]$ e $theta \in[0,pi]$ giusto?
Ora come procedo? Scusa ma sono un po' in panne
Aspetta forse ci sono quasi riuscito
Una volta parametrizzata la superficie riscrivo il campo vettoriale $F$ come $F(t,theta) = ((costhetaarctg(t))/t,(senthetarctg(t))/t, t^2senthetacostheta)$
Eseguo le derivate parziali : $(\partialr) / (partialt) = (costheta,sentheta,1/(1+t^2))$ $(\partialr)/(partialtheta) = (-tsentheta,tcostheta,0)$
Il prodotto vettoriale $(\partialr)/(\partialt)$x $ (\partialr)/(\partialtheta) = ((-tcostheta)/(1+t^2),(tsentheta)/(1+t^2) , t)$
E imposto l'integrale $intint F_1A +F_2B +F_3c$ $d\thetadt$ = $int_(0)^(1) int_(0)^(pi) ((costheta)^2arctg(t)) / (t^2+1) + ((sentheta)^2arctg(t))/(t^2+1) + t^3costhetasentheta$ $d\thetadt$ e poi lo svolgo normalmente.
Pensi sia giusto? Non ho usato il teorema della divergenza ma la definizione "normale" di flusso
Una volta parametrizzata la superficie riscrivo il campo vettoriale $F$ come $F(t,theta) = ((costhetaarctg(t))/t,(senthetarctg(t))/t, t^2senthetacostheta)$
Eseguo le derivate parziali : $(\partialr) / (partialt) = (costheta,sentheta,1/(1+t^2))$ $(\partialr)/(partialtheta) = (-tsentheta,tcostheta,0)$
Il prodotto vettoriale $(\partialr)/(\partialt)$x $ (\partialr)/(\partialtheta) = ((-tcostheta)/(1+t^2),(tsentheta)/(1+t^2) , t)$
E imposto l'integrale $intint F_1A +F_2B +F_3c$ $d\thetadt$ = $int_(0)^(1) int_(0)^(pi) ((costheta)^2arctg(t)) / (t^2+1) + ((sentheta)^2arctg(t))/(t^2+1) + t^3costhetasentheta$ $d\thetadt$ e poi lo svolgo normalmente.
Pensi sia giusto? Non ho usato il teorema della divergenza ma la definizione "normale" di flusso
"Domeniko98":
Quindi se ho capito bene posso parametrizzare la mia superficie
$\{(x=tcostheta),(y=tsentheta),(z=arctg(t)):}$ $t\in[0,1]$ e $theta \in[0,pi]$ giusto?
Ora come procedo? Scusa ma sono un po' in panne
La parametrizzazione e' corretta. Se scrivi \[ \vec{r} (t,\theta) = t \cos \theta \vec{e_1} + t \sin \theta \vec{e_2} + \arctan(t) \vec{e_3} \]sai che il vettore \[ \frac{\partial \vec{r}}{\partial t} (\bar{t},\bar{\theta}) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} (\bar{t},\bar{\theta}) \]e' ortogonale alle superficie \(S\) nel punto \( (\bar{t},\bar{\theta})\); dovrai poi risolvere \[ \begin{cases} x(t,\theta) = 0 \\ y(t,\theta)=\sqrt{3}/3 \\ z(t,\theta) = \pi /6 \end{cases}\] per trovare il tuo \( (\bar{t},\bar{\theta})\) specifico.
Per il calcolo del flusso io utilizzerei il teorema della divergenza; prendi il volume \(V\) delimitato dalla superficie \(S\), dal piano \( y=0\) e dal piano \( z= \pi / 4 \); mi aspetto che il flusso di \(F\) uscente da quei due piani sia facile da calcolare.
"Delirium":
[quote="Domeniko98"]Quindi se ho capito bene posso parametrizzare la mia superficie
$\{(x=tcostheta),(y=tsentheta),(z=arctg(t)):}$ $t\in[0,1]$ e $theta \in[0,pi]$ giusto?
Ora come procedo? Scusa ma sono un po' in panne
La parametrizzazione e' corretta. Se scrivi \[ \vec{r} (t,\theta) = t \cos \theta \vec{e_1} + t \sin \theta \vec{e_2} + \arctan(t) \vec{e_3} \]sai che il vettore \[ \frac{\partial \vec{r}}{\partial t} (\bar{t},\bar{\theta}) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} (\bar{t},\bar{\theta}) \]e' ortogonale alle superficie \(S\) nel punto \( (\bar{t},\bar{\theta})\); dovrai poi risolvere \[ \begin{cases} x(t,\theta) = 0 \\ y(t,\theta)=\sqrt{3}/3 \\ z(t,\theta) = \pi /6 \end{cases}\] per trovare il tuo \( (\bar{t},\bar{\theta})\) specifico.
Per il calcolo del flusso io utilizzerei il teorema della divergenza; prendi il volume \(V\) delimitato dalla superficie \(S\), dal piano \( y=0\) e dal piano \( z= \pi / 4 \); mi aspetto che il flusso di \(F\) uscente da quei due piani sia facile da calcolare.[/quote]
Per quanto riguarda il piano tangente mi è chiaro, ma non ho capito perchè bisogna usare la divergenza? Il procedimento usato è sbagliato? Inolte non ho capito bene cosa fare
"Domeniko98":
[...]
Per quanto riguarda il piano tangente mi è chiaro, ma non ho capito perchè bisogna usare la divergenza? Il procedimento usato è sbagliato? Inolte non ho capito bene cosa fare
Ah, non avevo visto il tuo secondo post. Comunque si', mi sembra che tu abbia impostato correttamente i conti. Usare il teorema della divergenza e' un'alternativa possibile.
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