Superficie, piano tangente e retta normale

[belgy]

data la superficie S(x,y)=[Sin(x+Ln(y));Cos(x+Ln(y));x+y]
con 0<=x<=2 ; 1<=y<=e

trovare l'area di S
calcolare il piano tangente e la retta normale nel punto P(1,2)

quindi procedo al calcolo delle derivate Sx e Sy
Sx=[Cos(x+Ln(y));-Sin(x+Ln(y));1]
Sy=[Cos(x+Ln(y))/y;-Sin(x+Ln(y))/y;1]

faccio il prodotto vettoriale Sx^Sy e lo sbatto nell'integrale di superficie moltiplicato per la superficie stessa calcolato in dxdy fra gli estremi di cui sopra... però diventa complicato ed irrisolvibile...

ho sbagliato qualcosa?!

[Sk_Anonymous]

Non mi torna quel "moltiplicato per la superficie stessa". Tu devi integrare il modulo del prodotto vettoriale delle derivate parziali, sul rettangolo dato. Non mi sembra venga difficile, vedendo seni e coseni mi sa tanto che se ne andranno grazie ad identita' trigonometriche.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[belgy]

vuol dire che seno^2 e coseno^2 si elidono e
quindi mi ritrovo da integrare (1+y)/y dxdy = 2e
giusto?

[belgy]

però se la formula dell'integrale superficiale è
int S(x,y)*|Sx X Sy|dxdy
a me i seni e i coseni restano...

[Sk_Anonymous]

Ma non devi integrare la funzione S, bensi' la funzione 1. Ti ricordo che stai cercando l'area di S...

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[belgy]

quindi era giusto integrare le componenti del prodotto vettoriale e farne il modulo...
cioè
[(1-y)/y] e integrando in dxdy fra gli estremi..

risulta -2(e-2)

[belgy]

ora però quale parametrizzazione conviene fare per trovare il piano tangente e la retta normale in P(1,2)??
con x=CosT e y=SinT non mi sembra si arrivi da qualche parte...

[Sk_Anonymous]

Puoi anche fare a meno di parametrizzare. La superficie e' data in forma cartesiana, quindi basta trovare il differenziale e traslarlo nel punto dato.

Luca Lussardi
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[belgy]

quote:

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Originally posted by Luca.Lussardi

Puoi anche fare a meno di parametrizzare. La superficie e' data in forma cartesiana, quindi basta trovare il differenziale e traslarlo nel punto dato.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

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cosa vuol dire trovare il differenziale e traslarlo nel punto dato

[Sk_Anonymous]

L'epressione analitica del differenziale di una funzione scalare e' l'equazione del piano tangente, ma passante per O anziche' per il punto assegnato; va quindi traslato tale piano con la traslazione che porta O in P.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[belgy]

quindi tramite r=r0+tv dovrei arrivare all'espressione del piano...

con r incognite, r0 è la mia curva (traslata in P), v è la derivata in P per la costante t (che non ho ancora ben chiaro come trovare)

[Sk_Anonymous]

No, non capisco. Devi trovare l'espressione del differenziale: basta fare la combinazione lineare delle derivate parziali nel punto.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[belgy]

non mi trovo...
ho fatto la combinazione lineare delle derivate parziali in P(1,2) però non mi sembra minimamente un piano...

[Sk_Anonymous]

Scusa, ma non hai trovato un'espressione del tipo df(1,2)(x,y)=ax+by, dove a e b sono le derivate parziali calcolate in P rispettivamente rispetto ad x ed y?

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[belgy]

si ma non è un piano

[Sk_Anonymous]

E' meglio che ti vai a ripassare un po' di Geometria analitica tridimensionale; mi sembri alquanto a digiuno.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[belgy]

se io ho una funzione qualsiasi di x e y
sostituisco x=1 e y=2 quello che trovo è un punto che giace sul piano, non il piano

[Sk_Anonymous]

Non devi sostituire x=1 e y=2 nell'equazione del differenziale, questa "sostituzione" l'hai gia' fatta. Quello che io ho denotato con a e b sono le derivate parziali della funzione calcolate in (1,2).

Ora pero' che mi fai rileggere il testo, mi sono accorto che la superficie per la quale vuoi trovare il piano tangente non e' data in forma cartesiana, ma gia' in forma parametrica. Quindi o trovi una forma cartesiana e calcoli il differenziale nel punto opportuno, oppure tieni la forma parametrica (consiglio questo) ma allora devi trovare i due vettori che generano il piano tangente, che sono le due derivate parziali della parametrizzazione data calcolate in (1,2). Una volta che hai i due vettori che generano il piano e il punto comune di applicazione, e' banale trovare le equazioni parametriche del piano tangente e, se vuoi, anche l'equazione cartesiana.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[belgy]

ok, ora la tua risoluzione dell'esercizio combacia con la mia.