Superficie ottenuta dalla rotazione di una curva

[Frostman]

Buongiorno, avrei bisogno di una mano con questo esercizio.

Sia $\Sigma sub  mathbb(R)^3 $ l’insieme ottenuto ruotando di un giro completo intorno all’asse $y$ il sostegno della curva $\gamma : [0, 1] -> mathbb(R)^3, \gamma(t) = (t, 1 - t, 0)$ .
Si determini una superficie regolare $\phi$ con sostegno $\phi$* = $\Sigma$

Pensavo di operare in equazioni cartesiane

${(x=t), (y=1-t), (z=0):}$

Siccome abbiamo una rotazione attorno all'asse $y$ devo aggiungere un parametro che mi mostri la rotazione.

${(x=t*cos(u)), (y=1-t), (z=0*sin(u)):}$

Con $u in [0,2pi]$

Il problema è che in $z$ il termine di rotazione in questo caso è nullo.

[Frostman]

Grazie mille! In effetti seguendo un po' i passaggi del messaggio che mi hai passato tutto torna!
Quindi nel mio caso avrei la seguente parametrizzazione:

${(x=ucosv), (y=1-u), (z=usinv):}$

Per $(u, v) in [0,1] xx [0, 2pi]$