Superficie equipotenziale
Dato il campo vettoriale $F=(x+y,x+y,z^2)$ mi viene chiesto:
a) stabilire se è conservativo
b) calcolare il ponteziale di $g$
c) determinare l'equazione cartesiana della superficie equipotenziale passante per il punto (1,1,0)
Per i primi 2 punti non credo di avere problemi:
a) Siccome $F$ è irrotazionale ed è definito in tutto $RR^3$, che è un insieme convesso, posso affermare che è conservativo.
b) Conti fatti ottengo che $g(x,y,z)=x^2/2+yx+y^2/2+z^3/3+c$ è la mia funzione potenziale.
Calcolando il gradiente di g riottengo F percui sono sicuro di aver fatto bene i conti.
c) Qui non sono molto sicuro di aver dato la risposta giusta.
Per determinare l'equazione di tale superficie ho calcolato $g(1,1,0)$ da cui mi sono ricavato che il parametro $c=2$.
E' giusto affermare che l'equazione cartesiana della superficie equipotenziale passante per (1,1,0) è
$g(x,y,z)=x^2/2+yx+y^2/2+z^3/3+2$?
Inoltre potete confermarmi che le risposte a e b sono corrette?
Grazie mille in anticipo a tutti!
a) stabilire se è conservativo
b) calcolare il ponteziale di $g$
c) determinare l'equazione cartesiana della superficie equipotenziale passante per il punto (1,1,0)
Per i primi 2 punti non credo di avere problemi:
a) Siccome $F$ è irrotazionale ed è definito in tutto $RR^3$, che è un insieme convesso, posso affermare che è conservativo.
b) Conti fatti ottengo che $g(x,y,z)=x^2/2+yx+y^2/2+z^3/3+c$ è la mia funzione potenziale.
Calcolando il gradiente di g riottengo F percui sono sicuro di aver fatto bene i conti.
c) Qui non sono molto sicuro di aver dato la risposta giusta.
Per determinare l'equazione di tale superficie ho calcolato $g(1,1,0)$ da cui mi sono ricavato che il parametro $c=2$.
E' giusto affermare che l'equazione cartesiana della superficie equipotenziale passante per (1,1,0) è
$g(x,y,z)=x^2/2+yx+y^2/2+z^3/3+2$?
Inoltre potete confermarmi che le risposte a e b sono corrette?
Grazie mille in anticipo a tutti!
Risposte
mah, non ho ancora mai fatto esercizi in merito, ma dato che faccio fisica all'università e la teoria di queste cose più o meno la so... proviamo a rispondere:
il primo punto è corretto.
il secondo punto è corretto.
per il terzo punto: le superfici potenziali sono l'insieme dei punti in cui il potenziale assume sempre lo stesso valore...
tu hai già la funzione potenziale, la calcoli nel punto che ti vien dato (1,1,0) e trovi un numero "n". quindi la superficie potenziale è quella curva luogo dei punti che soddisfano: g = n
edit:
ok, ho letto bene ora: ho praticamente detto quel che hai scritto tu per il terzo punto
il primo punto è corretto.
il secondo punto è corretto.
per il terzo punto: le superfici potenziali sono l'insieme dei punti in cui il potenziale assume sempre lo stesso valore...
tu hai già la funzione potenziale, la calcoli nel punto che ti vien dato (1,1,0) e trovi un numero "n". quindi la superficie potenziale è quella curva luogo dei punti che soddisfano: g = n
edit:
ok, ho letto bene ora: ho praticamente detto quel che hai scritto tu per il terzo punto
grazie mille per la risposta!
però... c'è qualcosa che non mi quaglia... 
attendi la risposta di qualcuno che sa più di me
attendi la risposta di qualcuno che sa più di me
Se calcoli il potenziale generico nel punto dato ottieni $g(1,1,0)=2+c$, pertanto questo è il valore che il potenziale deve assumere. Ne segue che dall'espressione generica del potenziale si ricava l'identità
[tex]$2+c=\frac{x^2}{2}+xy+\frac{y^2}{2}+\frac{z^3}{3}+c\ \Rightarrow\ 3(x^2+2xy+y^2)+2z^3=12$[/tex]
per cui la superficie equipotenziale ha la seguente espressione [tex]$z=f(x,y)=\sqrt[3]{6-\frac{3}{2}(x+y)^2}$[/tex]
[tex]$2+c=\frac{x^2}{2}+xy+\frac{y^2}{2}+\frac{z^3}{3}+c\ \Rightarrow\ 3(x^2+2xy+y^2)+2z^3=12$[/tex]
per cui la superficie equipotenziale ha la seguente espressione [tex]$z=f(x,y)=\sqrt[3]{6-\frac{3}{2}(x+y)^2}$[/tex]
perdona la mia ignoranza ciampax, ma quindi per l'equazione cartesiana di una superficie qualsiasi è una equazione della forma $z=f(x,y)$ ?
ecco... quel che avevo detto non quagliava infatti.
si, una superficie in R^3 ha quella forma. pensa tipo ad un piano: z = x+y = f(x,y)
in generale, mi sembra di aver capito che una funzione è una curva o una superficie "solo" in base alla dimensione del dominio.
se il dominio è R, hai una curva. se è R^2, hai una superficie. questo a prescindere dalla dimensione del codominio, che sia pure R^9.
si, una superficie in R^3 ha quella forma. pensa tipo ad un piano: z = x+y = f(x,y)
in generale, mi sembra di aver capito che una funzione è una curva o una superficie "solo" in base alla dimensione del dominio.
se il dominio è R, hai una curva. se è R^2, hai una superficie. questo a prescindere dalla dimensione del codominio, che sia pure R^9.
Non è detto. Qui trovi una equazione in forma implicita [tex]$3(x+y)^2+2z^3=12$[/tex] che è facile da mettere in forma esplicita come ho fatto, ricavando $z$. Ma in generale non è detto che si possa fare.
@ Ziele: sinceramente non ho capito cosa stai dicendo
@ Ziele: sinceramente non ho capito cosa stai dicendo
Infatti era proprio quello che volevo sentirmi dire, in quanto particolari superfici (come per esempio delle sfere) non posso espressi come funzioni!
Grazie ciampax!
Grazie ciampax!
ma perchè mi dite tutti che non capite quel che dico?
da quel che ho capito durante le lezioni (una cosa detta tra le righe dal docente solo una volta...):
si definisce CURVA, una qualsiasi funzione di UNA sola variabile. si definisce invece SUPERFICIE una funzione di DUE variabili.
in R^3, che è lo spazio in cui stai lavorando da quel che si deduce dall'esercizio, una superficie può avere la forma z = f(x,y) dove z è uno scalare. ma puoi anche avere una superficie definita da due o tre funzioni, ma TUTTE di 2 variabili.
per fare un esempio:
[tex]\begin{Bmatrix}x = u cos v \\ y = u sin v \\ z = v \end{Bmatrix}[/tex]
(dovrebbe essere un sistema, ma non so scriverlo in latex :\ ) è una superficie (infatti le variabili sono u e v. quindi SOLO 2) in R^3 definita da TRE funzioni e non da solo una ( z = f(x,y) è UNA funzione). in particolare è un piano che ruota ad elica attorto all'asse z.
comunque tutto questo non c'entra molto con quanto hai chiesto, era più un voler generalizzare
beh, non proprio ^^
da quel che ho capito durante le lezioni (una cosa detta tra le righe dal docente solo una volta...):
si definisce CURVA, una qualsiasi funzione di UNA sola variabile. si definisce invece SUPERFICIE una funzione di DUE variabili.
in R^3, che è lo spazio in cui stai lavorando da quel che si deduce dall'esercizio, una superficie può avere la forma z = f(x,y) dove z è uno scalare. ma puoi anche avere una superficie definita da due o tre funzioni, ma TUTTE di 2 variabili.
per fare un esempio:
[tex]\begin{Bmatrix}x = u cos v \\ y = u sin v \\ z = v \end{Bmatrix}[/tex]
(dovrebbe essere un sistema, ma non so scriverlo in latex :\ ) è una superficie (infatti le variabili sono u e v. quindi SOLO 2) in R^3 definita da TRE funzioni e non da solo una ( z = f(x,y) è UNA funzione). in particolare è un piano che ruota ad elica attorto all'asse z.
comunque tutto questo non c'entra molto con quanto hai chiesto, era più un voler generalizzare
"Gost91":
Infatti era proprio quello che volevo sentirmi dire, in quanto particolari superfici (come per esempio delle sfere) non posso espressi come funzioni!
Grazie ciampax!
beh, non proprio ^^
@ Gost91: il modo corretto di esprimersi è dire che non sempre esiste una rappresentazione come funzione esplicita (in quanto $x^2+y^2+z^2=1$ è pur sempre una funzione).
@Ziel: adesso lo hai espresso meglio quel concetto, prima era un po' tentennante. Diciamo che quello che stai usando è il concetto intuitivo legato alla definizione rigorosa di cosa siano una curva e una superficie. Detto in maniera un po' più formale (ma non ancora rigorosa) una superficie è un insieme di punti che è messo in corrispondenza biunivoca e "regolare" con un insieme di $\mathbb{R}^2$ (così come una curva è una corrispondenza biunivoca e regolare tra un insieme qualsiasi e un intervallo di $\mathbb{R}$). Comunque concettualmente è esattamente così: diciamo che un altro modo di vedere questo fatto è dire qualcosa del tipo che una superficie è dipendente da 2 parametri mentre una curva dipende sempre e solo da un parametro (e in questo senso, definisci anche il concetto di dimensione di una curva e quello di superficie). Ma ripeto, detto in questo modo è una "chiacchiera" senza rigore logico, solo una "buona" intuizione di cosa debba essere in generale un tale oggetto.
@Ziel: adesso lo hai espresso meglio quel concetto, prima era un po' tentennante. Diciamo che quello che stai usando è il concetto intuitivo legato alla definizione rigorosa di cosa siano una curva e una superficie. Detto in maniera un po' più formale (ma non ancora rigorosa) una superficie è un insieme di punti che è messo in corrispondenza biunivoca e "regolare" con un insieme di $\mathbb{R}^2$ (così come una curva è una corrispondenza biunivoca e regolare tra un insieme qualsiasi e un intervallo di $\mathbb{R}$). Comunque concettualmente è esattamente così: diciamo che un altro modo di vedere questo fatto è dire qualcosa del tipo che una superficie è dipendente da 2 parametri mentre una curva dipende sempre e solo da un parametro (e in questo senso, definisci anche il concetto di dimensione di una curva e quello di superficie). Ma ripeto, detto in questo modo è una "chiacchiera" senza rigore logico, solo una "buona" intuizione di cosa debba essere in generale un tale oggetto.
beh, l'ho messa giù infatti come una chiacchierata
insomma... non era manco richiesto un approfondimento simile.
non mettermi in imbarazzo però chiedendomi se conosco le definizioni formali e rigorose... ^^
insomma... non era manco richiesto un approfondimento simile.
non mettermi in imbarazzo però chiedendomi se conosco le definizioni formali e rigorose... ^^
Non ti preoccupare, non intendo farlo. Ma anche quando vuoi "parlare in modo informale" di qualcosa, ti consiglio di stare attento all'uso che fai di certi termini. 
"ciampax":
Non ti preoccupare, non intendo farlo. Ma anche quando vuoi "parlare in modo informale" di qualcosa, ti consiglio di stare attento all'uso che fai di certi termini.
uh! o.o
quali?
scusate l'ot
Intendo in generale, non c'era un riferimento specifico alla terminologia adottata.
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