Superficie cannolo

[20021991]

Salve. Devo calcolare l'area della superficie compresa tra la sfera centrata nell'origine e raggio 2, e il cilindro di raggio 1 e centro in (0,1). Praticamente ottengo un cannolo siciliano!
Ma come faccio a calcolare l'area? Come capisco qual è la funzione da parametrizzare per calcolare l'elemento d'area infinitesimo e integrarlo?

Grazie

[Quinzio]

Da come è descritto devi calcolare un volume non un'area !

[20021991]

No, devo calcolare proprio l'area della parte di superficie cilindrica che si trova dentro alla superficie sferica

[Quinzio]

"20021991":No, devo calcolare proprio l'area della parte di superficie cilindrica che si trova dentro alla superficie sferica

Allora si fa in due secondi, dai.
Quant'è l'altezza del cilindro ? Devi pensare a dove il cilindro interseca la sfera. Pensa a cosa succede tagliando i due oggetti con un piano verticale.
Dovrebbe venire $4\pi\sqrt3$

E' proprio un cannolo.

[20021991]

Ti mostro il mio ragionamento.

Devo calcolare la superficie cilindrica all'interno di quella sferica, quindi la sfera rappresenta una delimitazione.

Scrivo il cilindro in coordinate cilindriche:

$\{(x=Rcos\theta=cos\theta),(y=Rsen\theta=sen\theta),(z=z):}$

da cui $ \underline{r'}_\theta \times \underline{r'}_z = cos\theta\underline{i} + sen\theta\underline{j}$

quindi $d\sigma = 1$

Calcolo allora l'integrale:

$A = \int\int_{\Sigma} d\sigma= \int\int_{\Sigma} d\thetad\z$

Cerco la limitazione su z:

$z<=sqrt(4-(x^2+y^2))=sqrt(4-R^2)=sqrt(4-1)=sqrt3 \Rightarrow z € [0,sqrt3]$ (considero solo la parte al di sopra del piano xy)

Quindi, vista la simmetria rispetto al piano xy:

$A = 2\int\int_{\Sigma} d\thetad\z=2\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{sqrt(3)}d\z= 4\pisqrt(3)$

[20021991]

E' corretto?