Superfici, solidi e parametrizzazioni: dubbi.
Innanzitutto salve a tutti, e complimenti per il bel forum ricco di gente esperta e strumenti ottimi.
Ma veniamo al dunque: per la prima volta nella mia vita non ho seriamente capito un "argomento". Sto parlando della parametrizzazione di un oggetto fornito sul quale poi si andranno a calcolare volumi, aree e chi ne ha più ne metta. Quello però non è un problema, esistono definizioni e teoremi, è proprio la parametrizzazione che non riesco a fare.
Vorrei riuscire a spiegarmi meglio, ma non saprei cosa aggiungere! Provo con un esempio:
$V={(x,y,z) in RR^3 : x^2+y^2<=1, x^2+z^2<=1, y^2+z^2<=1 }$
Mi è subito chiaro che questo oggetto altro non è che l'intersezione di tre cilindri: il primo che corre lungo l'asse z, il secondo lungo y e il terzo lungo x, tutti e tre con raggio uguale a 1.
L'esercizio chiede di calcolare il volume di V che è per definizione $\int int int 1 dxdydz$
Ora però iniziano i guai: che si fa? In questo caso non riesco nemmeno a immaginarmi la figura tridimensionale. Necessito comunque di una parametrizzazione: quali coordinate scegliere? Penso cilindriche o sferiche (le cartesiane le escluderei a priori). Ammettiamo che io abbia scelto le cilindriche...
$\{(x=\rhocos\theta),(y=\rhosin\theta),(z=t):}$
Ora però io non so davvero come fare per determinare gli intervalli a cui le 3 variabili appartengono! Ho cercato in lungo e in largo su dispense, in rete..ma niente, non ho mai trovato come affrontare questo procedimento!
PS. sarei anche alla ricerca di un programma in grado di effettuare tutto ciò..ovvero prendere in input l'insieme e calcolare volumi/superfici...sapreste darmi qualche indicazione? Se non altro per confrontare i risultati con gli esercizi delle mie dispense (privi di soluzione).
Grazie anticipatamente a chi vorrà aiutarmi!
Ma veniamo al dunque: per la prima volta nella mia vita non ho seriamente capito un "argomento". Sto parlando della parametrizzazione di un oggetto fornito sul quale poi si andranno a calcolare volumi, aree e chi ne ha più ne metta. Quello però non è un problema, esistono definizioni e teoremi, è proprio la parametrizzazione che non riesco a fare.
Vorrei riuscire a spiegarmi meglio, ma non saprei cosa aggiungere! Provo con un esempio:
$V={(x,y,z) in RR^3 : x^2+y^2<=1, x^2+z^2<=1, y^2+z^2<=1 }$
Mi è subito chiaro che questo oggetto altro non è che l'intersezione di tre cilindri: il primo che corre lungo l'asse z, il secondo lungo y e il terzo lungo x, tutti e tre con raggio uguale a 1.
L'esercizio chiede di calcolare il volume di V che è per definizione $\int int int 1 dxdydz$
Ora però iniziano i guai: che si fa? In questo caso non riesco nemmeno a immaginarmi la figura tridimensionale. Necessito comunque di una parametrizzazione: quali coordinate scegliere? Penso cilindriche o sferiche (le cartesiane le escluderei a priori). Ammettiamo che io abbia scelto le cilindriche...
$\{(x=\rhocos\theta),(y=\rhosin\theta),(z=t):}$
Ora però io non so davvero come fare per determinare gli intervalli a cui le 3 variabili appartengono! Ho cercato in lungo e in largo su dispense, in rete..ma niente, non ho mai trovato come affrontare questo procedimento!
PS. sarei anche alla ricerca di un programma in grado di effettuare tutto ciò..ovvero prendere in input l'insieme e calcolare volumi/superfici...sapreste darmi qualche indicazione? Se non altro per confrontare i risultati con gli esercizi delle mie dispense (privi di soluzione).
Grazie anticipatamente a chi vorrà aiutarmi!
Risposte
Lascia stare le parametrizzazioni e concentrati prima sulle simmetrie dell'insieme.
Il tuo insieme è simmetrico rispetto a tutti e tre i piani coordinati, quindi il suo volume è $8$ volte il volume della parte di $V$ che interseca il primo ottante, chiamiamola $V_1$; in più $V_1$ è simmetrico rispetto al piano $x=y$, al piano $x=z$ ed al piano $y=z$, quindi dovresti essere in grado di ridurre ancora un poco la grandezza dell'insieme di integrazione.
A questo punto dovresti essere in grado di integrare su un insieme di tipo normale ad uno dei tre semipiani che delimitano il primo ottante.
Il tuo insieme è simmetrico rispetto a tutti e tre i piani coordinati, quindi il suo volume è $8$ volte il volume della parte di $V$ che interseca il primo ottante, chiamiamola $V_1$; in più $V_1$ è simmetrico rispetto al piano $x=y$, al piano $x=z$ ed al piano $y=z$, quindi dovresti essere in grado di ridurre ancora un poco la grandezza dell'insieme di integrazione.
A questo punto dovresti essere in grado di integrare su un insieme di tipo normale ad uno dei tre semipiani che delimitano il primo ottante.
Ciao gugo, grazie per l'interessamento.
Il problema è che non riesco a immaginarmi la figura, che ci siano simmetrie posso intuirlo. Però non riesco neanche a pensare a quello che c'è in un solo ottante. Ancora più grave è il fatto che quello che ho riportato è solo un esempio di esercizio, mentre io sono alla ricerca di un ragionamento da poter sfruttare sempre!
Puoi aiutarmi?
Il problema è che non riesco a immaginarmi la figura, che ci siano simmetrie posso intuirlo. Però non riesco neanche a pensare a quello che c'è in un solo ottante. Ancora più grave è il fatto che quello che ho riportato è solo un esempio di esercizio, mentre io sono alla ricerca di un ragionamento da poter sfruttare sempre!
Puoi aiutarmi?
Sai darmi qualche dritta su dove imparare? qualche testo, sito che spieghi come determinare gli estremi di una parametrizzazione in modo generico?
Rinnovo anche la domanda per qualche software in grado di svolgere questi conti.
Rinnovo anche la domanda per qualche software in grado di svolgere questi conti.
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