Superfici regolari in $RR^3$
ho fatto l'esame ma mi è rimasto un dubbio, sugli appunti ho trovato versioni differenti di una definizione e non so quale delle due è giusta.
quando una superficie in $RR^3$ si dice regolare? io penso che basta che sia di classe $C^1$, ma ho trovato sui libri anche un'altra condizione basata su fatto che il prodotto vettoriale tra i vettori tangenti alle linee coordinate non può essere nullo
quando una superficie in $RR^3$ si dice regolare? io penso che basta che sia di classe $C^1$, ma ho trovato sui libri anche un'altra condizione basata su fatto che il prodotto vettoriale tra i vettori tangenti alle linee coordinate non può essere nullo
Risposte
[mod="dissonance"]Per favore cambia il titolo, mettendone un altro più esplicativo. Per esempio: "superfici regolari in R^3". [/mod]
Ha ragione la condizione trovata sui libri.
La regolarità dipende dalla dimensione dello spazio tangente, che è il rango della matrice che ha per colonne i vettori tangenti alle linee coordinate indotte dalla parametrizzazione.
La regolarità dipende dalla dimensione dello spazio tangente, che è il rango della matrice che ha per colonne i vettori tangenti alle linee coordinate indotte dalla parametrizzazione.
"Gugo82":
Ha ragione la condizione trovata sui libri.
La regolarità dipende dalla dimensione dello spazio tangente, che è il rango della matrice che ha per colonne i vettori tangenti alle linee coordinate indotte dalla parametrizzazione.
si ma vorrei una qualche giustificazione di qst'affermazione, in fondo se è $C^1$ vuol dire che esiste il piano tangente per definizione di differenziabilità.
l'equazione del piano tangente ad una superficie in $RR^3$ di parametrizzazione $sigma: D -> sigma(D), (u,v) |-> (x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ in $x_0=sigma(u_0,v_0) in Sigma$ è
$ =0
perciò la condizione $sigma_u(u_0,v_0) xx sigma_v(u_0,v_0) != 0$ è naturale
$
perciò la condizione $sigma_u(u_0,v_0) xx sigma_v(u_0,v_0) != 0$ è naturale
Esiste il piano tangente ad un grafico di funzione, se la funzione è di classe $C^1$: e questo fatto si vede facendo i conti.
Il problema è che non tutte le superfici sono grafici di funzione. Prendi la sfera e parametrizzala con coordinate polari in $(theta,phi) \in ]-pi,pi[\times ]-pi/2,pi/2[$: la parametrizzazione ha nullo uno dei vettori tangenti alle linee coordinate in ogni punto del tipo $(\theta,0)$, nonostante la parametrizzazione sia fatta da funzioni $C^oo$.
Il problema è che non tutte le superfici sono grafici di funzione. Prendi la sfera e parametrizzala con coordinate polari in $(theta,phi) \in ]-pi,pi[\times ]-pi/2,pi/2[$: la parametrizzazione ha nullo uno dei vettori tangenti alle linee coordinate in ogni punto del tipo $(\theta,0)$, nonostante la parametrizzazione sia fatta da funzioni $C^oo$.
uhm perchè? in fondo stiamo parlando di una funzione vettoriale, non di una funzione in $RR$, ad ogni valore di $(phi,theta)$ nell'intervallo corrisponde un solo vettore e non due, quindi si dovrebbe vedere come si definisce la differenziabilità per funzioni vettoriali.
Ho aggiornato il post, che conteneva un piccolo errore.
La questione "jacobiano non nullo" riguarda proprio l'iniettività della parametrizzazione della superficie: infatti il teorema di invertibilità locale per le funzioni vettoriali (che è una semplice conseguenza del teorema del Dini sulle funzioni implicite) ti dice che una funzione vettoriale di classe $C^1$ è invertibile intorno ad un punto se ha jacobiano non nullo.
Però puoi invertire la storia e dimostrare che in realtà hai:
Insomma, la condizione di jacobiano non nullo equivale ad affermare che la parametrizzazione è invertibile localmente e che è differenziabile pure ogni inversa locale.
Quindi, si può togliere la condizione di jacobiano non nullo dalla definizione; però, se la si elimina, bisogna stare attenti a spacificare che la parametrizzazione ha da essere un diffeomorfismo (biiettiva, bicontinua e bidifferenziabile), non solo un omeomorfismo (biiettiva e bicontinua).
__________
* Per chi non conoscesse don Savino, dico che era il prete che faceva da "assistente" a Caccioppoli qui a Napoli. Vedi foto.
La questione "jacobiano non nullo" riguarda proprio l'iniettività della parametrizzazione della superficie: infatti il teorema di invertibilità locale per le funzioni vettoriali (che è una semplice conseguenza del teorema del Dini sulle funzioni implicite) ti dice che una funzione vettoriale di classe $C^1$ è invertibile intorno ad un punto se ha jacobiano non nullo.
Però puoi invertire la storia e dimostrare che in realtà hai:
"don Savino Coronato*, in Lezioni di Analisi Matematica-vol. secondo, ":3f0nws16:
Condizione necessaria e sufficiente affinchè una funzione vettoriale di classe $C^1$ sia localmente un diffeomorfismo (ossia localmente biiettiva, differenziabile, con l'inversa locale pure differenziabile) è che lo jacobiano sia diverso da zero in ogni punto del dominio.
Insomma, la condizione di jacobiano non nullo equivale ad affermare che la parametrizzazione è invertibile localmente e che è differenziabile pure ogni inversa locale.
Quindi, si può togliere la condizione di jacobiano non nullo dalla definizione; però, se la si elimina, bisogna stare attenti a spacificare che la parametrizzazione ha da essere un diffeomorfismo (biiettiva, bicontinua e bidifferenziabile), non solo un omeomorfismo (biiettiva e bicontinua).
__________
* Per chi non conoscesse don Savino, dico che era il prete che faceva da "assistente" a Caccioppoli qui a Napoli. Vedi foto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo