Superfici regolari in R3, punti non singolari
Salve a tutti. Sto studiando meccanica analitica, e come spero qualcuno sappia essa richiede delle conoscenze avanzate di analisi 2 (nonostante la prima lezione di analisi 2 è stata proprio ieri pomeriggio 
). In ogni caso, il professore in queste prime lezioni ha fatto delle introduzioni "matematiche" (il materiale proviene dal ben noto testo Fasano-Marmi) e ieri si è parlato di superfici in $R^3$ (le definizioni che porto le ho tradotte io dall'inglese, avendo il testo in inglese perciò potrei commettere qualche errore di notazione):
Sia $F:U \to \RR$ (ove $U$ sottoinsieme di $\RR^3$) di classe $C^\infty$. La superficie è definita così:
$S = \{(x_1,x_2,x_3) \in U|F(x_1,x_2,x_3) =0\}$. Poi definisce un punto non singolare di S così
$P=(\vec x) " non singolare" \hArr \gradF(\vec x ) \ne 0$
E dice che una superficie i cui punti son tutti non-singolari è detta regolare. Poi fa alcune precisazioni puramente matematiche che il prof ha saltato e poi introduce la parametrizzazione di S così:
$\vec x:U \sub \RR^2 \to \RR^3, \vec x = \vec x (u,v)$
$S = \vec x(U)=\{ \vec x \in \RR^3| \EE (u,v) \in U, (x_1,x_2,x_3) = \vec x(u,v) \}$
Quindi, se abbiamo una parametrizzazione di questo tipo allora la condizione di "non singolarità" di un punto diventa : i vettori $\vec x_u , \vec x_v$ devono essere linearmente indipendenti (o comunque il rango della matrice che contiene le derivate, in $P$,delle componenti $x_1,x_2,x_3$ rispetto a $u,v$ deve essere $2$). Poi dice di verificare che, data una sfera di raggio $R >0$, e data la seguente parametrizzazione:
$\vec x (u,v) = r(cosvsinu,sinvsinu, cosu), (u,v) \in [0,\pi] "x" [0,\2pi]$ è regolare ovunque tranne che ai poli dove vale $(0,0,\pm 1)$, non so a cosa si riferisca l'ultima parentesi.
In pratica, dopo essermi studiato delle dispense di matematica sulle superfici in $\RR^3$, ho raggiunto questi risultati:
$\vec x_u = (rcosvcosu, rsinvcosu,-rsinu), \vec x_v = (-rsinusinv,rcosvsinu,0)$
$\vec x_u "x" \vec x_v = (r^2cosvsin^2u, r^2sin^2u sinv,r^2sinucosu)$
e quindi ho calcolato, su suggerimento delle dispense di cui parlavo prima, la norma di quest'ultimo vettore:
$|| \vec x_u "x" \vec x_v ||=\cdots= r^2sinu=\beta, \beta=0 \hArr sinu=0 \hArr u=\pm \pi/2$, che in coordinate polari rappresentano i poli infatti.
Ecco quindi i miei dubbi: il libro dice che la sfera è regolare però poi ho provato 3 diverse parametrizzazioni
e nessuna sua parametrizzazione è effettivamente regolare ovunque. tuttavia, per la prima definizione di punto non singolare io ho che il gradiente della superficie in quel punto è non nullo e quindi potrei trovarmi (la discussione sul piano tangente l'ho fatta in altri messaggi) il piano tangente alla superficie in quel punto senza problemi (il fasano-marmi riporta infatti l'equazione $(\vec x-\vec x_0 \cdot \gradF =0 $)). A me sembra però facilissimo trovare i piani tangente ai poli di una sfera(almeno visualizzarli, per le equazioni vere e proprie non saprei al momento).
Un 'altra cosa: se io ho una superficie espressa implicitamente (non se sia il termine giusto, non ho abbastanza conoscenze di curve e superfici in generale):
$F(x_1,x_2,x_3) = 0$ il suo gradiente è $\gradF = \{ \frac{\partial F}{\partial x_1},\frac{\partial F}{\partial x_2},\frac{\partial F}{\partial x_3} \}$ e fin qui ok:
Se la mia superficie è parametrizzata ho che:
$x_1 = x_1(u,v),x_2 = x_2(u,v),x_3 = x_3(u,v)$. In questo caso non si potrebbe definire il gradiente?Perché calcoliamo le derivate parziali rispetto alle nuove variabili: $\vec x_u=\{ \frac{\partial x_1}{\partial u},\frac{\partial x_2}{\partial u},\frac{\partial x_3}{\partial u} \}, \vec x_v = \{ \frac{\partial x_1}{\partial v},\frac{\partial x_2}{\partial v},\frac{\partial x_3}{\partial v} \}$
Non capisco bene come si definisce il gradiente della superficie una volta espressa in forma parametrica, sinceramente poi la notazione $S = \vec x(U)=\{ \vec x \in \RR^3| \EE (u,v) \in U, (x_1,x_2,x_3) = \vec x(u,v) \}$ non aiuta la mia comprensione al massimo, sebbene abbia capito quasi tutto.
). In ogni caso, il professore in queste prime lezioni ha fatto delle introduzioni "matematiche" (il materiale proviene dal ben noto testo Fasano-Marmi) e ieri si è parlato di superfici in $R^3$ (le definizioni che porto le ho tradotte io dall'inglese, avendo il testo in inglese perciò potrei commettere qualche errore di notazione):Sia $F:U \to \RR$ (ove $U$ sottoinsieme di $\RR^3$) di classe $C^\infty$. La superficie è definita così:
$S = \{(x_1,x_2,x_3) \in U|F(x_1,x_2,x_3) =0\}$. Poi definisce un punto non singolare di S così
$P=(\vec x) " non singolare" \hArr \gradF(\vec x ) \ne 0$
E dice che una superficie i cui punti son tutti non-singolari è detta regolare. Poi fa alcune precisazioni puramente matematiche che il prof ha saltato e poi introduce la parametrizzazione di S così:
$\vec x:U \sub \RR^2 \to \RR^3, \vec x = \vec x (u,v)$
$S = \vec x(U)=\{ \vec x \in \RR^3| \EE (u,v) \in U, (x_1,x_2,x_3) = \vec x(u,v) \}$
Quindi, se abbiamo una parametrizzazione di questo tipo allora la condizione di "non singolarità" di un punto diventa : i vettori $\vec x_u , \vec x_v$ devono essere linearmente indipendenti (o comunque il rango della matrice che contiene le derivate, in $P$,delle componenti $x_1,x_2,x_3$ rispetto a $u,v$ deve essere $2$). Poi dice di verificare che, data una sfera di raggio $R >0$, e data la seguente parametrizzazione:
$\vec x (u,v) = r(cosvsinu,sinvsinu, cosu), (u,v) \in [0,\pi] "x" [0,\2pi]$ è regolare ovunque tranne che ai poli dove vale $(0,0,\pm 1)$, non so a cosa si riferisca l'ultima parentesi.
In pratica, dopo essermi studiato delle dispense di matematica sulle superfici in $\RR^3$, ho raggiunto questi risultati:
$\vec x_u = (rcosvcosu, rsinvcosu,-rsinu), \vec x_v = (-rsinusinv,rcosvsinu,0)$
$\vec x_u "x" \vec x_v = (r^2cosvsin^2u, r^2sin^2u sinv,r^2sinucosu)$
e quindi ho calcolato, su suggerimento delle dispense di cui parlavo prima, la norma di quest'ultimo vettore:
$|| \vec x_u "x" \vec x_v ||=\cdots= r^2sinu=\beta, \beta=0 \hArr sinu=0 \hArr u=\pm \pi/2$, che in coordinate polari rappresentano i poli infatti.
Ecco quindi i miei dubbi: il libro dice che la sfera è regolare però poi ho provato 3 diverse parametrizzazioni
e nessuna sua parametrizzazione è effettivamente regolare ovunque. tuttavia, per la prima definizione di punto non singolare io ho che il gradiente della superficie in quel punto è non nullo e quindi potrei trovarmi (la discussione sul piano tangente l'ho fatta in altri messaggi) il piano tangente alla superficie in quel punto senza problemi (il fasano-marmi riporta infatti l'equazione $(\vec x-\vec x_0 \cdot \gradF =0 $)). A me sembra però facilissimo trovare i piani tangente ai poli di una sfera(almeno visualizzarli, per le equazioni vere e proprie non saprei al momento).
Un 'altra cosa: se io ho una superficie espressa implicitamente (non se sia il termine giusto, non ho abbastanza conoscenze di curve e superfici in generale):
$F(x_1,x_2,x_3) = 0$ il suo gradiente è $\gradF = \{ \frac{\partial F}{\partial x_1},\frac{\partial F}{\partial x_2},\frac{\partial F}{\partial x_3} \}$ e fin qui ok:
Se la mia superficie è parametrizzata ho che:
$x_1 = x_1(u,v),x_2 = x_2(u,v),x_3 = x_3(u,v)$. In questo caso non si potrebbe definire il gradiente?Perché calcoliamo le derivate parziali rispetto alle nuove variabili: $\vec x_u=\{ \frac{\partial x_1}{\partial u},\frac{\partial x_2}{\partial u},\frac{\partial x_3}{\partial u} \}, \vec x_v = \{ \frac{\partial x_1}{\partial v},\frac{\partial x_2}{\partial v},\frac{\partial x_3}{\partial v} \}$
Non capisco bene come si definisce il gradiente della superficie una volta espressa in forma parametrica, sinceramente poi la notazione $S = \vec x(U)=\{ \vec x \in \RR^3| \EE (u,v) \in U, (x_1,x_2,x_3) = \vec x(u,v) \}$ non aiuta la mia comprensione al massimo, sebbene abbia capito quasi tutto.
Risposte
La parentesi indica i due punti \((0,0,1)\) e \((0,0,-1)\), ovvero il polo Nord e il polo Sud della sfera rispettivamente.
Quanto alla regolarità, con questi ragionamenti stai riscoprendo il concetto di "atlante" della geometria differenziale. E' vero che non troverai mai una parametrizzazione della sfera senza punti singolari. E' un teorema: una tale parametrizzazione non esiste. (Quando si dice che è impossibile disegnare un planisfero senza distorcere qualche parte del mondo, ci si riferisce esattamente a questo teorema). Però puoi trovare DUE parametrizzazioni con punti singolari non coincidenti.
Ad esempio, quella parametrizzazione che hai scritto ti dà problemi al polo Nord e al polo Sud, ma puoi sempre costruirne un'altra ruotando la sfera. La nuova parametrizzazione è regolare ai poli ed è singolare in altri due punti, in cui la parametrizzazione precedente è regolare. Hai quindi ricoperto la sfera con due parametrizzazioni in modo tale da non avere nessun punto singolare. Si dice quindi che la sfera è una "varietà" (ora non so se il tuo libro usa questa notazione).
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Quanto al gradiente, occhio a non fare confusione. Quello che ti serve è che \(\nabla F\) è un *vettore normale* alla tua varietà (come dicevo sopra, forse preferisci chiamarla in un altro modo). Invece, il conto che tu stai facendo con la superficie parametrica a cosa serve? Ti sei messo a calcolare derivate, e stai scrivendo degli oggetti che hanno senso, ok. Ma cosa vuoi ottenere? Non facciamo conti a casaccio.
Quanto alla regolarità, con questi ragionamenti stai riscoprendo il concetto di "atlante" della geometria differenziale. E' vero che non troverai mai una parametrizzazione della sfera senza punti singolari. E' un teorema: una tale parametrizzazione non esiste. (Quando si dice che è impossibile disegnare un planisfero senza distorcere qualche parte del mondo, ci si riferisce esattamente a questo teorema). Però puoi trovare DUE parametrizzazioni con punti singolari non coincidenti.
Ad esempio, quella parametrizzazione che hai scritto ti dà problemi al polo Nord e al polo Sud, ma puoi sempre costruirne un'altra ruotando la sfera. La nuova parametrizzazione è regolare ai poli ed è singolare in altri due punti, in cui la parametrizzazione precedente è regolare. Hai quindi ricoperto la sfera con due parametrizzazioni in modo tale da non avere nessun punto singolare. Si dice quindi che la sfera è una "varietà" (ora non so se il tuo libro usa questa notazione).
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Quanto al gradiente, occhio a non fare confusione. Quello che ti serve è che \(\nabla F\) è un *vettore normale* alla tua varietà (come dicevo sopra, forse preferisci chiamarla in un altro modo). Invece, il conto che tu stai facendo con la superficie parametrica a cosa serve? Ti sei messo a calcolare derivate, e stai scrivendo degli oggetti che hanno senso, ok. Ma cosa vuoi ottenere? Non facciamo conti a casaccio.
Non so cosa intendi con varietà, e no purtroppo il fasani-marmi è un libro di meccanica analitica perciò quando introduce concetti di geometria differenziale lo fa in maniera abbastanza stringata (A proposito io ho iniziato da pochissimi analisi vettoriale, perciò puoi immaginare il livello di conoscenza delle superfici). Per quanto riguarda il gradiente non sono stato chiaro: il mio dubbio è questo: quando lavoro con una superficie ho delle specifiche condizioni per vedere se un punto è singolare o meno ($\gradF(\vec x_0) \ne 0$). Quando passo ad una parametrizzazione perché quelle condizioni cambiano in tale maniera? Non capisco cosa ci guadagniamo a lavorare con una parametrizzazione, qual è lo scopo se stiamo trattando lo stesso oggetto e possiamo tranquillamente studiarlo, come nel caso della sfera, tramite la sua equazione in forma implicita.
Per esempio, come si fa ad ottenere la condizione di singolarità per una superficie in forma parametrica (il rango della matrice delle derivate rispetto a $u,v$ deve essere due) partendo da quella per la sua forma implicita $F(x_1,x_2,x_3) =0 )$.
Per quale motivo non è possibile costruire un piano tangente se il gradiente si annulla? Da quanto so un piano lo riesco a individuare con un punto e un vettore normale: nel caso di una superficie ho il vantaggio che tale vettore è rappresentato da $\gradF(\vec x)$, nel caso questo sia non nullo. Quando quest'ultimo si annulla, cosa significa in termini puramente geometrici? Forse tu Dissonance saprai rispondermi: come visualizzo un punto di una superficie in $\RR^3$ in cui il gradiente si annulla?
P.S. Credo che il problema sia più profondo e derivi dal fatto che mi tocca studiare cose molte avanzate senza le dovute fondamenta (dovrei anticiparmi tutta analisi 2, pensare che il gradiente finora nei miei corsi non era stato mai nominato)
Per esempio, come si fa ad ottenere la condizione di singolarità per una superficie in forma parametrica (il rango della matrice delle derivate rispetto a $u,v$ deve essere due) partendo da quella per la sua forma implicita $F(x_1,x_2,x_3) =0 )$.
Per quale motivo non è possibile costruire un piano tangente se il gradiente si annulla? Da quanto so un piano lo riesco a individuare con un punto e un vettore normale: nel caso di una superficie ho il vantaggio che tale vettore è rappresentato da $\gradF(\vec x)$, nel caso questo sia non nullo. Quando quest'ultimo si annulla, cosa significa in termini puramente geometrici? Forse tu Dissonance saprai rispondermi: come visualizzo un punto di una superficie in $\RR^3$ in cui il gradiente si annulla?
P.S. Credo che il problema sia più profondo e derivi dal fatto che mi tocca studiare cose molte avanzate senza le dovute fondamenta (dovrei anticiparmi tutta analisi 2, pensare che il gradiente finora nei miei corsi non era stato mai nominato)
La spiegazione riguardo la possibilità di non trovare una parametrizzazione ovunque regolare l'ho capita e ti ringrazio per l'aiuto. Tuttavia come facciamo a sapere che non esista alcuna parametrizzazione ovunque regolare per una sfera in $\RR^3$?
mi tocca studiare cose molte avanzate senza le dovute fondamenta
É perfettamente normale. É sempre cosí. Se continui gli studi, se fai ricerca, fino alla fine ti ci abitui.
Comunque hai ragione. Molte cose si possono fare con la forma implicita, e spesso è molto più elegante. Ma altre cose richiedono parametrizzazioni. Pensa sempre alla sfera, la superficie terreste. Se vuoi indicare un punto sulla superficie terrestre, ti servono latitudine e longitudine, ovvero le coordinate polari. Non te ne puoi uscire con equazioni implicite. Se vuoi calcolare un integrale sulla sfera, come fai senza coordinate? Eccetera eccetera.
Lo stesso succede in algebra lineare. Sicuramente hai studiato i sottospazi vettoriali di \(\mathbb R^n\). A volte li puoi descrivere con equazioni (forma implicita), altre con parametri (forma parametrica). Ognuna delle due descrizioni ha vantaggi e svantaggi. Qui è lo stesso, ma le equazioni non sono più necessariamente lineari.
La spiegazione riguardo la possibilità di non trovare una parametrizzazione ovunque regolare l'ho capita e ti ringrazio per l'aiuto. Tuttavia come facciamo a sapere che non esista alcuna parametrizzazione ovunque regolare per una sfera in R3?È un po' complicato, lascia stare per il momento. Poi più avanti cerca "no single chart on the sphere". È un tipico esercizio di geometria differenziale.
Grazie mille per il conforto e per i suggerimenti, anche negli altri threads 
Da quanto so un piano lo riesco a individuare con un punto e un vettore normale: nel caso di una superficie ho il vantaggio che tale vettore è rappresentato da \(\nabla F\), nel caso questo sia non nullo. Quando quest'ultimo si annulla, cosa significa in termini puramente geometrici?
Niente. Non significa proprio niente. Significa solo che non si può dire nulla in generale. Prendi per esempio la funzione \(F(x, y, z)=z^2\). La superficie \(F(x, y, z)=0\) è un piano, quindi geometricamente è regolare ovunque, ma \(\nabla F(x, y, z)=0\) su ogni punto della superficie. Quindi dal punto di vista analitico ogni punto è singolare.
Per esempio, come si fa ad ottenere la condizione di singolarità per una superficie in forma parametrica [...] partendo da quella per la sua forma implicitaNella teoria, tutte queste cose le fa un teorema molto importante, il "teorema della funzione implicita". Ma in pratica si tratta di risolvere equazioni. Sono esercizi che penso farai. Se hai fatto algebra lineare è sicuro che già hai fatto la versione lineare di questi esercizi, in cui passi dalle equazioni parametriche a quelle cartesiane di un sottospazio vettoriale, e viceversa. Come dicevo prima, qui è esattamente lo stesso ma le equazioni non sono più necessariamente lineari.
Il professore non ha mai parlato di tale teorema (d'altronde si parla sempre di un corso di meccanica e il tempo già è poco), però cercando sul libro di riferimento in inglese ho trovato che usa spesso la frase "By the implicit function theorem,..." però cercando il termine ho scoperto che il libro non mostra il teorema ma lo utilizza e basta più volte nella trattazione.
Il che va benissimo. Non è tanto importante conoscere il teorema e la sua dimostrazione ma è essenziale saperlo usare. In fondo, la cosa più importante è risolvere le equazioni lineari, sapere cosa sono i "gradi di libertà". Il teorema della funzione implicita ti dice quando puoi fare lo stesso discorso con le equazioni nonlineari. Poi lo vedrai di sicuro.
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