Superfici parametriche orientate - Compatibilità
Ciao 
Sto sviluppando il seguente esercizio:
che ho svolto fino a trovare la superficie:
e dove ad esempio la delimitazione "giallo" potrei definirla come
$sum_1 = {(x,y,0) : 4<=x^2+y^2<=9}$ (avendo posto z=0 in $4<=x^2+y^2+z^2<=9$) con $Phi_1:A_1 -> sum_1$
dove $Phi_1(x,y)=(x,y,0)$ e $A_1= {(x,y):4<=x^2+y^2<=9} sube R^2$
ipotizzando ora di definire la compatibilità (o meno) di questa parametrizzazione andrei a fare:
$∂xPhi_1$ x $∂yPhi_1$ (x,y) = $|(i,j,k),(1,0,0),(0,1,0)|$ -> che dal calcolo del determinante da -> $k=(0,0,1)$
Ora io ho capito che (correggetemi se sbaglio) se "punta verso l'esterno è compatibile, altrimenti è non compatibile"...
ma io non riesco a capire graficamente il significato di questa affermazione..
Cioè, io credo che significhi che se appoggio il vettore alla superficie ed "esce" da essa allora è compatibile, mentre se "entra" in essa è non compatibile (almeno credo
) però non riesco a capire come posizionarlo correttamente ad esempio nel mio caso per $sum_1$...
Spero di aver spiegato bene ciò che non mi è chiaro
Grazie in anticipo a tutti! 
Sto sviluppando il seguente esercizio:
Sia $Ω sub R^3$ l'insieme $Ω = {(x,y,z): x^2+y^2>=1; 4<=x^2+y^2+z^2<=9; z>=0}$
1) Fare un disegno qualitativo di Ω
2) Parametrizzare ∂Ω e dire se le parametrizzazioni scelte sono o meno compatibili con il campo v normale a ∂Ω esternamente a Ω.
3) ....
4) ....
che ho svolto fino a trovare la superficie:
e dove ad esempio la delimitazione "giallo" potrei definirla come
$sum_1 = {(x,y,0) : 4<=x^2+y^2<=9}$ (avendo posto z=0 in $4<=x^2+y^2+z^2<=9$) con $Phi_1:A_1 -> sum_1$
dove $Phi_1(x,y)=(x,y,0)$ e $A_1= {(x,y):4<=x^2+y^2<=9} sube R^2$
ipotizzando ora di definire la compatibilità (o meno) di questa parametrizzazione andrei a fare:
$∂xPhi_1$ x $∂yPhi_1$ (x,y) = $|(i,j,k),(1,0,0),(0,1,0)|$ -> che dal calcolo del determinante da -> $k=(0,0,1)$
Ora io ho capito che (correggetemi se sbaglio) se "punta verso l'esterno è compatibile, altrimenti è non compatibile"...
ma io non riesco a capire graficamente il significato di questa affermazione..
Cioè, io credo che significhi che se appoggio il vettore alla superficie ed "esce" da essa allora è compatibile, mentre se "entra" in essa è non compatibile (almeno credo
) però non riesco a capire come posizionarlo correttamente ad esempio nel mio caso per $sum_1$...Spero di aver spiegato bene ciò che non mi è chiaro
Grazie in anticipo a tutti!
Risposte
Eh, nel tuo caso il vettore $\vec k$ è entrante.
e come faccio a capirlo in termini di disegno?
"mikelozzo":
e come faccio a capirlo in termini di disegno?
Ohi, scusa, ma nel tuo disegno dove punta k ?
penso cosi.. quindi dovrebbe essere entrante (non compatibile) 
ma allora in questo caso non serve che il vettore tocchi in qualche modo la superficie parametrizzata.. l'importante è vederne solo l'orientamento rispetto ad essa, anche se è distaccato il vettore?
ma allora in questo caso non serve che il vettore tocchi in qualche modo la superficie parametrizzata.. l'importante è vederne solo l'orientamento rispetto ad essa, anche se è distaccato il vettore?
Il vettore è un oggetto un po' strano perchè non ha una collocazione precisa nello spazio di solito.
Diciamo che se non è specificato altrimenti, tutti i vettori si pensano come se fossero nell'origine.
Nel tuo caso invece, ad ogni punto punto della superficie c'è associato un vettore, per cui devi immaginare il vettore come una bandierina piantata sulla superficie. (Ovvio che la "bandierina" non è sempre ortogonale, ma può anche essere inclinata).
In effetti c'è un po' di confusione su come vengono spiegati i vettori....
Diciamo che se non è specificato altrimenti, tutti i vettori si pensano come se fossero nell'origine.
Nel tuo caso invece, ad ogni punto punto della superficie c'è associato un vettore, per cui devi immaginare il vettore come una bandierina piantata sulla superficie. (Ovvio che la "bandierina" non è sempre ortogonale, ma può anche essere inclinata).
In effetti c'è un po' di confusione su come vengono spiegati i vettori....
si ma allora nel mio caso, come in altri come faccio a "piantare" la bandierina sulla superficie se il vettore è definito come (0,0,1)? A me verrebbe da pensare che non tocca proprio la superficie.. non so.. sicuramente ho molta confusione a riguardo ma se ho delle, diciamo "coordinate" del vettore x=0, y=0, z=1 non dovrebbe essere opinabile la collocazione nel piano "zr" dato che $z$ dovrebbe corrispondere a z ed $r$ dovrebbe essere la proiezione del piano "xy"..
non riesco a capire..
anche perchè poi ad esempio per un'altra superficie parametrizzata ho il vettore $(r/(sqrt(4-r^2)), (0),(1))$ in cui addirittura non ho definito in termini numerici $r$ quindi non so neppure dove collocarlo... è un pasticcio
non riesco a capire..
anche perchè poi ad esempio per un'altra superficie parametrizzata ho il vettore $(r/(sqrt(4-r^2)), (0),(1))$ in cui addirittura non ho definito in termini numerici $r$ quindi non so neppure dove collocarlo... è un pasticcio
Considerando che sono passati quattro giorni (ho evitato di intralciare i post degli altri che giustamente hanno diritto anche loro a risposte esaustive), credo di non fare torto a nessuno, ora, se "uppo" il post finito ormai in quinta pagina (di difficile visibilità)..
spero (come ho sempre fatto tra l'altro) di non andare contro il regolamento (il mio "up" non è dovuto a impazienza-prepotenza, semplicemente alla richiesta di aiuto dopo un po' di giorni avendo lasciato spazio ad altri utenti)
grazie
spero (come ho sempre fatto tra l'altro) di non andare contro il regolamento (il mio "up" non è dovuto a impazienza-prepotenza, semplicemente alla richiesta di aiuto dopo un po' di giorni avendo lasciato spazio ad altri utenti)
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