Superfici e calcolo di area e piano tangente?
Salve , ho questo esercizio che ho provato a svolgere:
Si consideri la superficie S, contenuta nel semispazio y ≥ 0, ottenuta facendo ruotare di un angolo
piatto attorno all’asse z la curva del piano xz di equazione
z =$ sqrt(x+1) $ , 1 ≤ x ≤ 4.
a) Calcolare l’area di S;
b) trovare una parametrizzazione di S e utilizzarla per calcolare versore normale e piano tangente a S nel punto (0,3,2).
ora ho pensato di parametrizzare come :
$ Sigma= $ $ { ( x=u*cos(v) ),( y=u*sen(v) ),( z=sqrt(u+1) ):} $
poi mi vado a calcolare il vettore normale
$ sigmau=(cos(v),sen(v),1/(2*sqrt(u+1))) $
$sigmav=(-usen(v),ucos(v),0) $
se faccio il prodotto vettoriale esce:
$ sigma u^^sigmav=((-ucos(v))/(2*sqrt(u+1)),(usen(v))/(2*sqrt(u+1)),u) $
poi normalizzo e viene :
$ sqrt((u^2+4u^2*(u+1))/(4*(u+1)) $
sto procedendo bene o devo fare in un altro modo ?
Si consideri la superficie S, contenuta nel semispazio y ≥ 0, ottenuta facendo ruotare di un angolo
piatto attorno all’asse z la curva del piano xz di equazione
z =$ sqrt(x+1) $ , 1 ≤ x ≤ 4.
a) Calcolare l’area di S;
b) trovare una parametrizzazione di S e utilizzarla per calcolare versore normale e piano tangente a S nel punto (0,3,2).
ora ho pensato di parametrizzare come :
$ Sigma= $ $ { ( x=u*cos(v) ),( y=u*sen(v) ),( z=sqrt(u+1) ):} $
poi mi vado a calcolare il vettore normale
$ sigmau=(cos(v),sen(v),1/(2*sqrt(u+1))) $
$sigmav=(-usen(v),ucos(v),0) $
se faccio il prodotto vettoriale esce:
$ sigma u^^sigmav=((-ucos(v))/(2*sqrt(u+1)),(usen(v))/(2*sqrt(u+1)),u) $
poi normalizzo e viene :
$ sqrt((u^2+4u^2*(u+1))/(4*(u+1)) $
sto procedendo bene o devo fare in un altro modo ?
Risposte
Mi sembra ok.
Si ma l integrale che ne deriva è un'abominio :/
$ int_(0)^(pi )dv( int_(1)^(4) (sqrt((u^2+4u^2*(u+1))/(4*(u+1)))du) $
Non trovi ??
$ int_(0)^(pi )dv( int_(1)^(4) (sqrt((u^2+4u^2*(u+1))/(4*(u+1)))du) $
Non trovi ??
Si, trovo anch'io che faccia piuttosto schifo.
Troviamo un modo alternativo, che faccia meno impressione.
Io calcolo la lunghezza della curva $z=\sqrt(x+1)$ in $x\in [1,4]$
La lunghezza è $\int_1^4\sqrt(1+(z')^2)dx$, ok ?
Se in quell'integrale ogni "pezzettino" infinitesimo $dx$ lo moltiplico per $x$ e per $\pi$ ho trovato l'area della superficie sei d'accordo ?
Cioè
$\pi \int_1^4x\sqrt(1+(z')^2)dx$
Però se vado a calcolarlo esplicitamente, fa schifo quanto prima, perchè infatti è la stessa cosa di quello che avevi scritto tu, più o meno.
Però scritto così si vede meglio che posso esprimere $x$ in funzione di $z$.
Cioè se $z=\sqrt(x+1)$, allora $x=z^2-1$.
Ricordando che $z'=1/(x')$ l'integrale diventa
$\pi/4\int_\sqrt2^\sqrt5 (z^2-1)\sqrt(4z^2+1)dz$
che è già più bello rispetto a quello di prima.
Adesso con la sostituzione $2z=sinh(t)$ e giocando un po' con $sinh$ e $cosh$ diventa abbastanza semplice.
Troviamo un modo alternativo, che faccia meno impressione.
Io calcolo la lunghezza della curva $z=\sqrt(x+1)$ in $x\in [1,4]$
La lunghezza è $\int_1^4\sqrt(1+(z')^2)dx$, ok ?
Se in quell'integrale ogni "pezzettino" infinitesimo $dx$ lo moltiplico per $x$ e per $\pi$ ho trovato l'area della superficie sei d'accordo ?
Cioè
$\pi \int_1^4x\sqrt(1+(z')^2)dx$
Però se vado a calcolarlo esplicitamente, fa schifo quanto prima, perchè infatti è la stessa cosa di quello che avevi scritto tu, più o meno.
Però scritto così si vede meglio che posso esprimere $x$ in funzione di $z$.
Cioè se $z=\sqrt(x+1)$, allora $x=z^2-1$.
Ricordando che $z'=1/(x')$ l'integrale diventa
$\pi/4\int_\sqrt2^\sqrt5 (z^2-1)\sqrt(4z^2+1)dz$
che è già più bello rispetto a quello di prima.
Adesso con la sostituzione $2z=sinh(t)$ e giocando un po' con $sinh$ e $cosh$ diventa abbastanza semplice.
Nel primo caso hai applicato il teorema di Guldino vero? , non mi è chiaro il passaggio z'=1/x'
"crio":
Nel primo caso hai applicato il teorema di Guldino vero? , non mi è chiaro il passaggio z'=1/x'
Si alla fine è parente stretto del Guldino.
La spiegazione formale di $z'=1/(x')$ non te la so dare, ma c'è su tutti i libri di analisi I.
Per ricordartelo velocemente pensa che $z'=dz/dx$ e $x'=dx/dz$, quindi $x'z'=1$
scusa potresti farmi vedere i passaggi con la sostituzione ? x.x è da oggi che provo a fare questo esercizio e sto impazzendo , ti ringrazio per la tua disponibilità
Avevi ragione tu: è un abominio.
Partiamo da qua
$\pi\int_1^4x\sqrt(1+(z')^2)dx$
se $z=\sqrt(1+x)$ allora $x=z^2-1$.
$\pi\int_1^4(z^2-1)\sqrt(1+(z')^2)dx$
Se $z'=1/(x')$
$\pi\int_1^4(z^2-1)\sqrt(1+(1/(x'))^2)dx$
Se $x=z^2-1$, allora $dx=2zdz$
$\pi\int_1^4(z^2-1)\sqrt(1+(1/(x'))^2)2\ z\ dz$
Se $x=z^2-1$, allora $x'=2z$
$\pi\int_1^4(z^2-1)\sqrt(1+(1/(2z))^2)2\ z\ dz$
Cambio gli estremi
$\pi\int_\sqrt2^\sqrt5(z^2-1)\sqrt(1+(1/(2z))^2)2\ z\ dz$
Semplifico un po' dentro la radice
$\pi\int_\sqrt2^\sqrt5(z^2-1)\sqrt(4z^2+1)\ dz$
quindi prima avevo fatto errore !
Poi $2z=sinh(t)$ quindi $dz=cosh(t)dt$ e $\sqrt(4z^2+1)=cosh(t)$
$1/4\pi\int_(\sinh^(-1)2sqrt2)^(\sinh^(-1)2sqrt5) (sinh(t)-4)cosh^2(t) dt$
$1/4\pi\int_(\sinh^(-1)2sqrt2)^(\sinh^(-1)2sqrt5) (sinh(t)cosh^2(t)-4cosh^2(t)) dt$
$1/4\pi\int_(\sinh^(-1)2sqrt2)^(\sinh^(-1)2sqrt5)(sinh(t)cosh^2(t)-2(cosh(2t)+1)) dt$
$1/4\pi (1/3(cosh(t))^(3)-sinh(2t)+2t)|_(\sinh^(-1)2sqrt2)^(\sinh^(-1)2sqrt5) $
$1/4\pi (1/3(1+sinh^2(t))^(3/2)-sinh(2t)+2t)|_(\sinh^(-1)2sqrt2)^(\sinh^(-1)2sqrt5) $
devi solo sostituire.
Partiamo da qua
$\pi\int_1^4x\sqrt(1+(z')^2)dx$
se $z=\sqrt(1+x)$ allora $x=z^2-1$.
$\pi\int_1^4(z^2-1)\sqrt(1+(z')^2)dx$
Se $z'=1/(x')$
$\pi\int_1^4(z^2-1)\sqrt(1+(1/(x'))^2)dx$
Se $x=z^2-1$, allora $dx=2zdz$
$\pi\int_1^4(z^2-1)\sqrt(1+(1/(x'))^2)2\ z\ dz$
Se $x=z^2-1$, allora $x'=2z$
$\pi\int_1^4(z^2-1)\sqrt(1+(1/(2z))^2)2\ z\ dz$
Cambio gli estremi
$\pi\int_\sqrt2^\sqrt5(z^2-1)\sqrt(1+(1/(2z))^2)2\ z\ dz$
Semplifico un po' dentro la radice
$\pi\int_\sqrt2^\sqrt5(z^2-1)\sqrt(4z^2+1)\ dz$
quindi prima avevo fatto errore !
Poi $2z=sinh(t)$ quindi $dz=cosh(t)dt$ e $\sqrt(4z^2+1)=cosh(t)$
$1/4\pi\int_(\sinh^(-1)2sqrt2)^(\sinh^(-1)2sqrt5) (sinh(t)-4)cosh^2(t) dt$
$1/4\pi\int_(\sinh^(-1)2sqrt2)^(\sinh^(-1)2sqrt5) (sinh(t)cosh^2(t)-4cosh^2(t)) dt$
$1/4\pi\int_(\sinh^(-1)2sqrt2)^(\sinh^(-1)2sqrt5)(sinh(t)cosh^2(t)-2(cosh(2t)+1)) dt$
$1/4\pi (1/3(cosh(t))^(3)-sinh(2t)+2t)|_(\sinh^(-1)2sqrt2)^(\sinh^(-1)2sqrt5) $
$1/4\pi (1/3(1+sinh^2(t))^(3/2)-sinh(2t)+2t)|_(\sinh^(-1)2sqrt2)^(\sinh^(-1)2sqrt5) $
devi solo sostituire.
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