SUperfici Di Rotazione
ho questo esercizio:
devo ricavare la superficie che si ottiene dalla rotazione completa attorno all'asse x della cicloide
$uin[0,2pi]={(x(u)=u-sin(u)),(z(u)=1-cos(u)):}$
da quel poco che ho trovato su internet credo di aver capito che
$Sigma={(z=(1-cos(u))cos(theta)),(y=(1-cos(u))sin(theta)),(x=u-sin(u)):}$
me lo confermate
devo ricavare la superficie che si ottiene dalla rotazione completa attorno all'asse x della cicloide
$uin[0,2pi]={(x(u)=u-sin(u)),(z(u)=1-cos(u)):}$
da quel poco che ho trovato su internet credo di aver capito che
$Sigma={(z=(1-cos(u))cos(theta)),(y=(1-cos(u))sin(theta)),(x=u-sin(u)):}$
me lo confermate
Risposte
Se devi ruotare la cicloide attorno al suo asse, questo è la retta $x=\pi$ (prova a disegnarla e te ne renderai conto. Pertanto, quello che fai non è corretto (tu prendi come asse di rotazione l'asse $x$).
Per poter scrivere correttamente tale superficie, puoi pensare di prendere metà cicloide (quindi $u\in[0,\pi]$) e osservare quanto segue: facendo ruotare la curva, per valori di $z$ fissati (e quindi per $u$ fissato) si ottengono circonferenze di centro il punto $(\pi,0,z(u))$ e raggio $x(u)$. Pertanto
$$x(u,v)=\pi+x(u)\cos v,\qquad y(u,v)=x(u)\sin v,\qquad z(u,v)=z(u)$$
e quindi
$$\Sigma=(\pi+(u-\sin u)\cos v,(u-\sin u)\sin v,1-\cos u),\qquad u\in[0,\pi],\ v\in[0,2\pi]$$
Per poter scrivere correttamente tale superficie, puoi pensare di prendere metà cicloide (quindi $u\in[0,\pi]$) e osservare quanto segue: facendo ruotare la curva, per valori di $z$ fissati (e quindi per $u$ fissato) si ottengono circonferenze di centro il punto $(\pi,0,z(u))$ e raggio $x(u)$. Pertanto
$$x(u,v)=\pi+x(u)\cos v,\qquad y(u,v)=x(u)\sin v,\qquad z(u,v)=z(u)$$
e quindi
$$\Sigma=(\pi+(u-\sin u)\cos v,(u-\sin u)\sin v,1-\cos u),\qquad u\in[0,\pi],\ v\in[0,2\pi]$$
ops scusa, ho scritto male la traccia, deve ruotare attorno all'asse x, correggo subito
Allora va bene: i valori di $x(u)$ risultano "fissi", mentre $z(u)$ rappresenta i raggi delle varie circonferenze, che hanno centro nel punto $(x(u),0,0)$. Però una cosa: le variabili per $\Sigma$ si mettono in ordine $(x,y,z)$.
ok, inoltre devo intersecare questa superficie con quella definita da $z>=0$
quindi pongo $cos(theta)>=0 $e quindi $0<=theta<=pi/2$ $U$ $3/2pi<=theta<=2pi$
siccome theta è definito tra 0 e $2pi$
poi $cos(u)<=1$ allora ho che$ 0<=u<=2pi$
poichè anche u è definita tra 0 e $2pi$
quindi ho che l'intersezione mi da
$Sigma={(x=u-sin(u)),(y=(1-cos(u))sin(theta)),(z=(1-cos(u))cos(theta)):}$
con $ 0<=u<=2pi$ e $0<=theta<=pi/2$ $U$ $3/2pi<=theta<=2pi$
quindi pongo $cos(theta)>=0 $e quindi $0<=theta<=pi/2$ $U$ $3/2pi<=theta<=2pi$
siccome theta è definito tra 0 e $2pi$
poi $cos(u)<=1$ allora ho che$ 0<=u<=2pi$
poichè anche u è definita tra 0 e $2pi$
quindi ho che l'intersezione mi da
$Sigma={(x=u-sin(u)),(y=(1-cos(u))sin(theta)),(z=(1-cos(u))cos(theta)):}$
con $ 0<=u<=2pi$ e $0<=theta<=pi/2$ $U$ $3/2pi<=theta<=2pi$
Calma, non ho capito niente. Che significa devo intersecare questa superficie con quella (che non è una superficie ma un semispazio) definita da $z\ge 0$? Io direi che devi considerare solo la porzione di superficie per cui $z\ge 0$ (che sia in italiano che in matematichese ha più senso), per cui deve essere $(1-\cos u)\cos\theta\ge 0$ e visto che la parte tra parentesi è sempre positiva, porta a dire che $\theta\in[0,\pi/2]\cup[3\pi/2,2\pi]$.
A questo punto, però, per evitare di scrivere "troppo", io dire che ti conviene parametrizzare così:
$$(u-\sin u,\ (1-\cos u)\cos v,\ (1-\cos u)\sin v)$$
in questo modo, al fine di avere $z\ge 0$,basta prendere $v\in[0,\pi]$ (e ovviamente $u\in[0,2\pi]$).
A questo punto, però, per evitare di scrivere "troppo", io dire che ti conviene parametrizzare così:
$$(u-\sin u,\ (1-\cos u)\cos v,\ (1-\cos u)\sin v)$$
in questo modo, al fine di avere $z\ge 0$,basta prendere $v\in[0,\pi]$ (e ovviamente $u\in[0,2\pi]$).
ok capito
in quest'altro compito mi chiede sempre la superficie ottenuta dalla rotazione di $2pi$ attorno all'asse x della curva
$gamma(x)=(x,0,cosx)$ con $x in[0,pi/2]$
quindi la superficie sarà $(cos(x),xsin(theta),xcos(theta))$
giusto?
in quest'altro compito mi chiede sempre la superficie ottenuta dalla rotazione di $2pi$ attorno all'asse x della curva
$gamma(x)=(x,0,cosx)$ con $x in[0,pi/2]$
quindi la superficie sarà $(cos(x),xsin(theta),xcos(theta))$
giusto?
No, in questo caso hai
$$(x, \cos x\cos\theta,\cos x\sin\theta)$$
Se prima hai fissato $x$, perché adesso fissi $z$?
$$(x, \cos x\cos\theta,\cos x\sin\theta)$$
Se prima hai fissato $x$, perché adesso fissi $z$?
è vero, mi sono confuso XD
ora mi chiede di calcolare l'area, se ho ben capito, col teorema di guldino
$A=2pi\int_{0}^{pi/2} cos(x)sqrt((dx/dx)^2+(dcos(x)/dx)^2) dx$
giusto?
ora mi chiede di calcolare l'area, se ho ben capito, col teorema di guldino
$A=2pi\int_{0}^{pi/2} cos(x)sqrt((dx/dx)^2+(dcos(x)/dx)^2) dx$
giusto?
Esatto. In generale, se hai la curva $(x(u),0,z(u))$ con $u\in[a,b]$ e consideri la superficie di rotazione attorno all'asse $x$
$$r(u,v)=(x(u),z(u)\cos v,z(u)\sin v),\qquad v\in[0,2\pi]$$
dal momento che
$$r_u=(x'(u),z'(u)\cos v,z'(u)\sin v),\qquad r_v=(0,-z(u)\sin v,z(u)\cos v)$$
si ricava
$$|r_u\wedge r_v|=\sqrt{(r_u\bullet r_u)(r_v\bullet r_v)-(r_u\bullet r_v)^2}=\\ \sqrt{[(x'(u))^2+(z'(u))^2]\cdot z(u)^2}=\sqrt{[(x'(u))^2+(z'(u))^2]}\cdot |z(u)|$$
e pertanto per l'area si ha
$$A=\int_0^{2\pi}\int_a^b|r_u\wedge r_v|\ du\ dv=2\pi\int_a^b |z(u)|\cdot\sqrt{(x'(u))^2+(z'(u))^2}\ du$$
$$r(u,v)=(x(u),z(u)\cos v,z(u)\sin v),\qquad v\in[0,2\pi]$$
dal momento che
$$r_u=(x'(u),z'(u)\cos v,z'(u)\sin v),\qquad r_v=(0,-z(u)\sin v,z(u)\cos v)$$
si ricava
$$|r_u\wedge r_v|=\sqrt{(r_u\bullet r_u)(r_v\bullet r_v)-(r_u\bullet r_v)^2}=\\ \sqrt{[(x'(u))^2+(z'(u))^2]\cdot z(u)^2}=\sqrt{[(x'(u))^2+(z'(u))^2]}\cdot |z(u)|$$
e pertanto per l'area si ha
$$A=\int_0^{2\pi}\int_a^b|r_u\wedge r_v|\ du\ dv=2\pi\int_a^b |z(u)|\cdot\sqrt{(x'(u))^2+(z'(u))^2}\ du$$
ok ultima domanda
come ricavo l'equazione del piano tangente a questa superficie nel punto $(pi/4,1/2,1/2)$?
come ricavo l'equazione del piano tangente a questa superficie nel punto $(pi/4,1/2,1/2)$?
In generale, data una superficie parametrica $r(u,v)$, il piano tangente in un punto $P(x_0,y_0,z_0)=r(u_0,v_0)$ è data da
$$(r_u\wedge r_v)(u_0,v_0)\bullet[(x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)]=0$$
Devi ovviamente ricavare $u_0,v_0$.
$$(r_u\wedge r_v)(u_0,v_0)\bullet[(x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)]=0$$
Devi ovviamente ricavare $u_0,v_0$.
scusa, ma non riesco a capire come ricavare $ u_0$ e $v_0$
Risolvendo il sistema di equazioni
$$x(u_0,v_0)=x_0,\ y(u_0,v_0)=y_0,\ z(u_0,v_0)=z_0$$
$$x(u_0,v_0)=x_0,\ y(u_0,v_0)=y_0,\ z(u_0,v_0)=z_0$$
ok apposto, grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo