Superdubbio su convergenza totale (teoricamente)

[ludwigZero]

Salve
Mi sta assalendo un'ansia su un dubbio che ho quando ho una serie di funzioni ricondotte a serie di potenze...

il primo passo è quello di trovare il raggio di convergenza $\pho$

allora si ha $|y|< \pho$

vado a controllare gli estremi e ottengo

$y = \rho$ converge

$y = - \rho$ diverge

allora è giusto scrivere che c'è convergenza totale in tutti gli intervalli chiusi e limitati tipo
$[a,b]$ contenuti in $(-\rho,\rho]$ ?

(applico il TEOREMA 1 dello sbordone pag 36) che dice:
''se la serie di potenze converge per qualche $\delta$ non nullo allora converge totalmente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto nell'intervallo $(-|\delta|,||delta|)$

spero possiate rispondere grazie

[Rigel1]

In generale puoi dire che la serie converge totalmente negli insiemi del tipo \([-a, a]\) con \(0 < a < \rho\).
Se hai convergenza puntuale anche per \(x=\rho\), puoi usare il teorema di Abel per concludere che la convergenza è uniforme negli intervalli del tipo \([-a, \rho]\), sempre con \(a<\rho\).

[ludwigZero]

"Rigel":In generale puoi dire che la serie converge totalmente negli insiemi del tipo \([-a, a]\) con \(0 < a < \rho\).
Se hai convergenza puntuale anche per \(x=\rho\), puoi usare il teorema di Abel per concludere che la convergenza è uniforme negli intervalli del tipo \([-a, \rho]\), sempre con \(a<\rho\).

quindi nel caso particolare che ho citato nel mio post è più opportuno che io scriva come hai scritto te, quando ho fatto l'ultimo scritto però la prof mi ha scritto l'intervallo $[a,b]$ contenuto nell'intervallo del raggio di convergenza dove mette la parentesi di chiusura solo sul $\rho$ che messo negli estremi mi da convergenza...


quindi io quando vado a vedere cosa succede agli estremi trovo solo la convergenza totale
poi dato che le $y$ era una sostituzione, ritorno alle $x$ e dovrei vedere la puntuale? (poichè tu hai scritto $x=\rho$ ... quindi suppongo che tu stia parlando della serie di funzioni iniziale) e poi infine usare ABEL per la convergenza uniforme, confermi?
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quindi il 'passaggio' per farmi concludere sulla convergenza uniforme (dunque ABEL) me la da la puntuale....altrimenti non posso partire 'sparato' ed usare quel teorema...