Sup di successioni di funzioni

[melli13]

Sia ${f_k}_k in NN$ una successione di funzioni misurabili in E
Come posso dimostrare che ${"sup"_k f_k>a}=uuu_{k in NN} {f_k>a}$? Doppia inclusione? Non sono capace!
Anche perchè se metto la disuguaglianza larga mi crolla tutto (ho trovato un controesempio):
${"sup"_k f_k>=a}!=uuu_{k in NN} {f_k>=a}$

[Rigel1]

Basta applicare le definizioni:
\[
\begin{gather}
x\in \{\sup_k f_k > a\}
\ \Longleftrightarrow \
\sup_k f_k(x) > a
\ \Longleftrightarrow \
\exists k:\ f_k(x) > a\\
\ \Longleftrightarrow \
\exists k:\ x \in \{f_k > a\}
\ \Longleftrightarrow \
x \in \bigcup_k \{f_k > a\}.
\end{gather}
\]

[melli13]

Grazie @Rigel per avermi risposto! Mmm bene! E perchè queste implicazioni dovrebbero crollare nel secondo caso, quando metto la disugiaglianza in senso largo?

[Rigel1]

"melli13":Grazie @Rigel per avermi risposto! Mmm bene! E perchè queste implicazioni dovrebbero crollare nel secondo caso, quando metto la disugiaglianza in senso largo?

Perché se \(\sup_k f_k(x) \geq a\) non è detto che esista \(k\) tale che \(f_k(x) \geq a\).

[melli13]

Oh si si..mi sono convinta adesso! Grazie infinite!!