$\sum_{n=1}^\infty log(n^(sin(1/n^2)))$ converge?
Questa serie $\sum_{n=1}^\infty log(n^(sin(1/n^2)))$ converge? Ovviamente il criterio del rapporto e della radice non portano da nessuna parte; utilizzando il confronto asintotico possiamo studiare il carattere della serie $\sum_{n=1}^\infty (logn)/n^2$...possibile che l'unico criterio applicabile sia quello integrale?
Risposte
Puoi anche osservare che $0< (\log n)/n^2 < 1/n^{3/2}$ definitivamente.
Insomma, si può usare il confronto asintotico poiché la successione [tex]$\frac{\ln n}{n^2}$[/tex] è infinitesima (non dotata d'ordine rispetto a [tex]$\frac{1}{n}$[/tex] ma) d'ordine [tex]$>\alpha$[/tex] per ogni [tex]$\alpha \in ]1,2[$[/tex] (perchè?).
"Rigel":
Puoi anche osservare che $0< (\log n)/n^2 < 1/n^{3/2}$ definitivamente.
Come possiamo dirlo? Equivarrebbe a dire che $logn
@gugo82 quindi posso fare questo discorso anche se non trovo l'ordine $\alpha$ di infinitesimo? Pensavo fosse necessario trovare prima $\alpha$ per applicare il confronto asintotico, come faccio allora ad applicarlo?
Assumendo che tu sappia che
$\lim_n (\log n)/(n^{1/2}) = 0$,
per definizione di limite sai che
$(\log n)/(n^{1/2}) < 1$ definitivamente.
$\lim_n (\log n)/(n^{1/2}) = 0$,
per definizione di limite sai che
$(\log n)/(n^{1/2}) < 1$ definitivamente.
sì la serie converge
innanzitutto, poichè l'argomento di $sin(1/n^2)$ è infinitesimo per n che tende ad infinito, puoi sostituire l'argomento al seno stesso, ottenendo per ora questa serie
$\sum_{n=1}^\infty log(n^(1/n^2))$ = $\sum_{n=1}^\infty log(n)/n^2$
a questo punto puoi applicare il criterio della condensazione, sostituendo alla serie la sua serie condensata $\sum_{n=1}^infty 2^n*a_(2^n)$. Se questa serie condensata converge, allora anche la serie $\sum_{n=1}^infty a_(n)$ converge. L'utilizzo di questo criterio è molto comodo quando si hanno dei logaritmi;
infatti, la serie condensata è $\sum_{n=1}^infty 2^n*log(2^n)/2^(2*n)$ = $\sum_{n=1}^infty n*log(2)/2^(n)$; il termine log(2) è una costante e quindi lo puoi trascurare, studiando la serie $\sum_{n=1}^infty n/2^(n)$ che converge per il criterio della radice.
Ecco quindi che la serie iniziale quindi converge.
Spero di esserti stato d'aiuto.
innanzitutto, poichè l'argomento di $sin(1/n^2)$ è infinitesimo per n che tende ad infinito, puoi sostituire l'argomento al seno stesso, ottenendo per ora questa serie
$\sum_{n=1}^\infty log(n^(1/n^2))$ = $\sum_{n=1}^\infty log(n)/n^2$
a questo punto puoi applicare il criterio della condensazione, sostituendo alla serie la sua serie condensata $\sum_{n=1}^infty 2^n*a_(2^n)$. Se questa serie condensata converge, allora anche la serie $\sum_{n=1}^infty a_(n)$ converge. L'utilizzo di questo criterio è molto comodo quando si hanno dei logaritmi;
infatti, la serie condensata è $\sum_{n=1}^infty 2^n*log(2^n)/2^(2*n)$ = $\sum_{n=1}^infty n*log(2)/2^(n)$; il termine log(2) è una costante e quindi lo puoi trascurare, studiando la serie $\sum_{n=1}^infty n/2^(n)$ che converge per il criterio della radice.
Ecco quindi che la serie iniziale quindi converge.
Spero di esserti stato d'aiuto.
@bradipivolo
Dove hai trovato l'utilizzo della 'serie condensata'?
E' sempre applicabile?
Dove hai trovato l'utilizzo della 'serie condensata'?
E' sempre applicabile?
E' vero! C'è anche questo criterio sisisi, grazie per averlo ricordato, non ci pensavo completamente.
@Rigel
Hai ragione basta ragionare sulla definizione di limite ponendo $\epsilon=1$ e il gioco è fatto, tnx a lot a tutti!
@Rigel
Hai ragione basta ragionare sulla definizione di limite ponendo $\epsilon=1$ e il gioco è fatto, tnx a lot a tutti!
"clever":
@bradipivolo
Dove hai trovato l'utilizzo della 'serie condensata'?
E' sempre applicabile?
E' applicabile solo se il termine generale è non crescente, la dimostrazione si trova anche su wiki
Oppure sul libro di Knopp:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#387653
pag.130 (numerazione del file), §14: Series of positive, monotone decreasing terms. Il criterio è il primo del paragrafo e si chiama di Cauchy.
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#387653
pag.130 (numerazione del file), §14: Series of positive, monotone decreasing terms. Il criterio è il primo del paragrafo e si chiama di Cauchy.
Oppure potevi usare il confronto con la serie habeliana
"SiLv3r":
Oppure potevi usare il confronto con la serie habeliana
E quale sarebbe? Google non mi è d'aiuto...
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