$\sum_{n=1}^\infty \frac{1 + \frac{1}{n!}}{n!}$

[pincopallino042]

Ciao a tutti.
Mi sono imbattuto nella serie seguente:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1 + \frac{1}{n!}}{n!}
\]
Secondo voi c'è un modo per risolverla senza scomodare il criterio del rapporto?
Grazie per l'attenzione

[megas_archon]

Cosa significa "risolvere" una serie?

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

\( 1 + 1/n! \le 2\) per \( n \in \mathbb{N}\).

[pincopallino042]

"megas_archon":Cosa significa "risolvere" una serie?

Hai ragione. "Determinare il suo carattere". Mea culpa

"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":\( 1 + 1/n! \le 2 \) per \( n \in \mathbb{N} \).

\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1 + \frac{1}{n!}}{n!} \le \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n!}
\]

Poi con il criterio del rapporto dimostro che $\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n!}$ converge
\[
\frac{2}{(n+1)!} \times \frac{n!}{2} = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{n!}{(n+1)n!} = \frac{1}{n+1} \to 0 < 1
\]
per $n \to +\infty$.

[megas_archon]

Beh, ma sai anche a cosa converge la serie con cui maggiori, \(\sum_{n\ge 1}\frac 2{n!} = 2(e-1)\).

[pilloeffe]

Ciao pincopallino04,

In realtà si può anche calcolarne la somma con una certa precisione:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1 + \frac{1}{n!}}{n!} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1 + \frac{1}{n!}}{n!} - 2 = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n!)^2} - 2 = e - 2 + I_0(2) ~~ 2,9979 < 3 $

ove $I_0(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(1/4 z^2)^n}{(n!)^2} $ è la funzione di Bessel modificata del primo genere.

Se invece non ti piace la funzione di Bessel modificata puoi sempre usare l'ovvia maggiorazione

$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n!)^2} - 2 < \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} - 2 = e + e - 2 = 2(e - 1) $

Quest'ultimo numero è proprio quello che ti ha scritto megas_archon.