$\sum_{n=1}^infty (alpha + 3)^n / (3^n + logn) * arctg(3/n)$

[marina091]

qualcuno sa come si risolve questa serie?

$\sum_{n=1}^infty (alpha + 3)^n / (3^n + logn) * arctg(3/n)$ grazie

[Covenant]

"marina09":qualcuno sa come si risolve questa serie?

$\sum_{n=1}^infty (alpha + 3)^n / (3^n + logn) * arctg(3/n)$ grazie

la serie è a termini positivi (non farti ingannare dall'arcotangente). $arctg(3/n)$ è un infinitesimo di ordine $1$ per $ntooo$, ma ciò che stabilisce davvero il carattere della serie è il fattore $(alpha + 3)^n / (3^n + logn)$ il cui comportamento dipende da $\alpha$ per $ntooo$. Se $\alpha +3>3$ quindi $\alpha>0$ allora il fattore preso in esame è un infinito di ordine superiore a qualsiasi potenza di $n$ per $ntooo$ e quindi la serie diverge. Se invece $\alpha +3<3$ quindi $\alpha<0$ allora $(alpha + 3)^n / (3^n + logn)$ è un infinitesimo di ordine maggiore di qualsiasi potenza di $1/n$ per $ntooo$ e la serie converge. In entrambi casi osserva che quel $logn$ al denominatore è solo fumo negli occhi .

EDIT: aggiungo che la serie diverge anche nel caso $\alpha =0$ poichè in quel caso $lim_(ntooo) (3)^n / (3^n + logn) = 1$ e il carattere della serie è stabilito da $arctg(3/n)$ che come detto è un infinitesimo di ordine $1$ per $ntooo$.