$ sum_(n=1)^(infty) (-1)^n*((n^a+ 1)/(2n+6)) $ Determina i valori di $ a>0 $ per i quali converga

[marcodal97]

Buongiorno, vi propongo la mia risoluzione di questo esercizio per capire eventuali errori nello svolgimento di questi esercizi con parametro.

Ho iniziato verificando che $ a_n > 0 AA a > 0 $ (vale per ogni a)
Poi ho verificato la condizione necessaria cioè ho trovato i valori di $a$ per cui $ lim a_n = 0 $
I valori che ho trovato (condiderando $ a> 0$) sono $ 0 < a < 1 $ infatti per
$a = 1 lim = 1/2 $
$a>1 lim = +infty $
$ a = 0 lim = 0$
$ a < 1 lim = 0$

Ho provato a studiare la serie dei valori assoluti per vedere se si verificava un caso di convergenza assoluta
$ an ~= n^a/(2n) $ Si arriva allo studio di una serie armonica $ 1/n^(1-a) $ che converge per $ 1-a>1, a < 0 $
Ma va escluso perchè dobbiamo considerare solo $ 0 < a < 1 $
Così ho usato il criterio di Leibniz:

Mi manca da verificare la non crescenza di $a_n $
$ n^(1-a) < (n+1)^(1-a) $
$ 1/ (n^(1-a)) > 1/((n+1)^(1-a)) $
$ 1/ (2n^(1-a)) > 1/(2(n+1)^(1-a)) $
Verificata. Allora la serie converge semplicemente per $ 0 < a < 1 $
Se volessimo estendere lo studio a $ a<=0$ si può dire che la serie converge semplicemente per $ a = 0 $ e assolutamente per $ a < 0 $ (Ho usato Leibniz per $a = 0$ )

E' corretto questo procedimento? Grazie delle eventuali risposte

[Weierstress]

Mi sembra tutto corretto. Trovo strano che il testo richieda solo lo studio per $a$ positivo, visto che è un conto veloce, ma vabbè... l'hai fatto ugualmente.