$\sum_{n=-\infty}^{\infty} n^2 |a_n|^2 \ge 1$
Problema. Data una curva chiusa di classe $C^1$ in $CC$ di lunghezza $2\pi$ se ne considerino tutte le parametrizzazioni regolari, tra loro equivalenti, attraverso un parametro $t \in [0,2\pi]$.
Sia $\gamma(t)$ una di queste parametrizzazioni e sia
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n e^{int}
\]
il suo sviluppo in serie di Fourier.
Mostrare che
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty} n^2 \vert a_n \vert^2 \ge 1
\]
con uguaglianza se e soltanto se $\gamma$ è la parametrizzazione riferita alla lunghezza d'arco.
______________________________________________
Si tratta di una (neanche troppo) vecchia ammissione in SNS; purtroppo, non riesco a concludere nulla di furbo. L'unica cosa di cui mi sono accorto è che se scriviamo esplicitamente chi sono gli $a_n$ e integriamo per parti troviamo
\[
a_n = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \gamma(t)e^{-int}dt = \frac{1}{2\pi i n} \int_0^{2\pi} \gamma^{\prime}(t)e^{-int}dt = \frac{a^{\prime}_n}{in}
\]
dove [tex]a^{\prime}_n[/tex] sono i coefficienti di Fourier di $\gamma'$. Quindi $n^2|a_n|^2=|a'_n|^2$. Ora uno sarebbe tentato di usare Bessel, ma non riesco a capire come (anche perché la disuguaglianza è con il verso opposto a quello che vogliamo: noi dobbiamo minorare, Bessel invece serve per maggiorare).
Qualcuno ha voglia di darmi una dritta, per piacere? Grazie!
Sia $\gamma(t)$ una di queste parametrizzazioni e sia
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n e^{int}
\]
il suo sviluppo in serie di Fourier.
Mostrare che
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty} n^2 \vert a_n \vert^2 \ge 1
\]
con uguaglianza se e soltanto se $\gamma$ è la parametrizzazione riferita alla lunghezza d'arco.
______________________________________________
Si tratta di una (neanche troppo) vecchia ammissione in SNS; purtroppo, non riesco a concludere nulla di furbo. L'unica cosa di cui mi sono accorto è che se scriviamo esplicitamente chi sono gli $a_n$ e integriamo per parti troviamo
\[
a_n = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \gamma(t)e^{-int}dt = \frac{1}{2\pi i n} \int_0^{2\pi} \gamma^{\prime}(t)e^{-int}dt = \frac{a^{\prime}_n}{in}
\]
dove [tex]a^{\prime}_n[/tex] sono i coefficienti di Fourier di $\gamma'$. Quindi $n^2|a_n|^2=|a'_n|^2$. Ora uno sarebbe tentato di usare Bessel, ma non riesco a capire come (anche perché la disuguaglianza è con il verso opposto a quello che vogliamo: noi dobbiamo minorare, Bessel invece serve per maggiorare).
Qualcuno ha voglia di darmi una dritta, per piacere? Grazie!
Risposte
Premessa la mia non conoscenza delle serie di Fourier,
partirei dall'identità $\int_0^{2 \pi} |f(z)|^2 d \theta = 2 \pi \sum_{n = 0}^{+ \infty} |c_n|^2 r^{2n}$ ($z = r e^{i \theta}$) (click).
Essendo $f \in C^1$
\[ f'(t) = \sum_{n= - \infty}^{\infty} i n a_n e^{int} \]
\[ \int_0^{2 \pi} |f'(t)|^2 dt = 2 \pi \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} | n a_n|^2 = 2 \pi \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} n^2 |a_n|^2 \]
Quindi: $\frac{1}{2\pi} \int_0^{2 \pi} |f'(t)|^2 dt = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} n^2 |a_n|^2$
Ammesso questa identità sia vera, non so a cosa potrebbe servirti...
partirei dall'identità $\int_0^{2 \pi} |f(z)|^2 d \theta = 2 \pi \sum_{n = 0}^{+ \infty} |c_n|^2 r^{2n}$ ($z = r e^{i \theta}$) (click).
Essendo $f \in C^1$
\[ f'(t) = \sum_{n= - \infty}^{\infty} i n a_n e^{int} \]
\[ \int_0^{2 \pi} |f'(t)|^2 dt = 2 \pi \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} | n a_n|^2 = 2 \pi \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} n^2 |a_n|^2 \]
Quindi: $\frac{1}{2\pi} \int_0^{2 \pi} |f'(t)|^2 dt = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} n^2 |a_n|^2$
Ammesso questa identità sia vera, non so a cosa potrebbe servirti...
Grazie Seneca per la tua risposta.
Sì, credo di aver capito quello che mi stai suggerendo: l'ultima riga del tuo post è l'identità di Parseval che sarebbe la disuguaglianza di Bessel trasformata in uguaglianza dalla completezza.
Dalla Parseval è evidente la seconda parte dell'esercizio, ovvero è ovvio caratterizzare il caso d'uguaglianza (si vede subito che se $f$ è la parametrizzazione con l'ascissa curvilinea il primo membro vale esattamente 1). Però come stimare dal basso quell'integrale? Mmm, ci penso.
Nel frattempo, ti ringrazio ancora per la tua risposta.
Sì, credo di aver capito quello che mi stai suggerendo: l'ultima riga del tuo post è l'identità di Parseval che sarebbe la disuguaglianza di Bessel trasformata in uguaglianza dalla completezza.
Dalla Parseval è evidente la seconda parte dell'esercizio, ovvero è ovvio caratterizzare il caso d'uguaglianza (si vede subito che se $f$ è la parametrizzazione con l'ascissa curvilinea il primo membro vale esattamente 1). Però come stimare dal basso quell'integrale? Mmm, ci penso.
Nel frattempo, ti ringrazio ancora per la tua risposta.
Per concludere mi sembra che sia sufficiente usare la disug. di Jensen (o Hoelder).
(Immagino si stia assumendo che la curva ha lunghezza $2\pi$.)
(Immagino si stia assumendo che la curva ha lunghezza $2\pi$.)
@ Rigel: immagini correttamente: avevo dimenticato di scrivere quell'ipotesi, mi scuso.
Holder, ma certo! Un giorno o l'altro mi dovrai spiegare come fai a togliermi sempre le castagne dal fuoco!
Ricapitolo brevemente: per prima cosa si ha
\[
a_n = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \gamma(t)e^{-int}dt = \frac{1}{2\pi i n} \int_0^{2\pi} \gamma^{\prime}(t)e^{-int}dt = \frac{a^{\prime}_n}{in}
\]
dove [tex]a^{\prime}_n[/tex] sono i coefficienti di Fourier di $\gamma'$. Quindi $n^2|a_n|^2=|a'_n|^2$ e questo mi permette di scrivere
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty} n^2 \vert a_n \vert^2 = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \vert a^{\prime}_n \vert^2 .
\]
Ora, per via dell'identità di Parseval, posso scrivere
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty} \vert a^{\prime}_n \vert^2 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \vert \gamma^{\prime}\vert^2 dt
\]
da cui (Holder)
\[\begin{split}
& \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \Vert \gamma^{\prime} \Vert^2 dt = \\
= & \frac{1}{2\pi} \Vert \gamma^{\prime} \Vert_2^2 = \\
= & \frac{1}{2\pi} \Vert \gamma^{\prime} \Vert_2^2 \frac{1}{2\pi}\Vert 1 \Vert_2^2 \ge \frac{1}{4\pi^2}\Vert \gamma^{\prime} \cdot 1 \Vert_1^2 = \\
= & \frac{1}{4\pi^2} \left( \int_0^{2\pi} \Vert \gamma^{\prime} \Vert dt \right)^2 = \frac{1}{4\pi^2} \mathcal{L}(\gamma)^2 = 1.
\end{split}
\]
Ti convince? Grazie mille!
Holder, ma certo! Un giorno o l'altro mi dovrai spiegare come fai a togliermi sempre le castagne dal fuoco!
Ricapitolo brevemente: per prima cosa si ha
\[
a_n = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \gamma(t)e^{-int}dt = \frac{1}{2\pi i n} \int_0^{2\pi} \gamma^{\prime}(t)e^{-int}dt = \frac{a^{\prime}_n}{in}
\]
dove [tex]a^{\prime}_n[/tex] sono i coefficienti di Fourier di $\gamma'$. Quindi $n^2|a_n|^2=|a'_n|^2$ e questo mi permette di scrivere
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty} n^2 \vert a_n \vert^2 = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \vert a^{\prime}_n \vert^2 .
\]
Ora, per via dell'identità di Parseval, posso scrivere
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty} \vert a^{\prime}_n \vert^2 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \vert \gamma^{\prime}\vert^2 dt
\]
da cui (Holder)
\[\begin{split}
& \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \Vert \gamma^{\prime} \Vert^2 dt = \\
= & \frac{1}{2\pi} \Vert \gamma^{\prime} \Vert_2^2 = \\
= & \frac{1}{2\pi} \Vert \gamma^{\prime} \Vert_2^2 \frac{1}{2\pi}\Vert 1 \Vert_2^2 \ge \frac{1}{4\pi^2}\Vert \gamma^{\prime} \cdot 1 \Vert_1^2 = \\
= & \frac{1}{4\pi^2} \left( \int_0^{2\pi} \Vert \gamma^{\prime} \Vert dt \right)^2 = \frac{1}{4\pi^2} \mathcal{L}(\gamma)^2 = 1.
\end{split}
\]
Ti convince? Grazie mille!
Sbaglio o questa disuguaglianza ha parecchio a che fare con la disuguaglianza isoperimetrica?
Almeno ad una prima distratta occhiata sembrerebbe di sì...
Almeno ad una prima distratta occhiata sembrerebbe di sì...
@gugo: Direi che è sostanzialmente una parte della dim. fatta attraverso le serie di Fourier della disug. isoperimetrica.
@Paolo: mi sembra ok.
@Paolo: mi sembra ok.
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